Analisi di sensibilità spettrale di cavità elettromagnetiche

In this thesis we study the dependence of Maxwell eigenvalues in perfectly conducting electromagnetic cavities upon perturbation of the domain and of the permittivity parameter. Using a general technique developed by P.D. Lamberti and M. Lanza de Cristoforis we provide analyticity results for the dependence of the elementary symmetric functions of the eigenvalues splitting a multiple eigenvalue, as well as Rellich-Nagy-type results describing the corresponding bifurcation phenomenon, and we apply them to certain shape and permittivity optimization problems. In particular, we show that for isovolumetric or isoperimetric perturbations, balls are critical shapes. Moreover, under the validity of a uniform Gaffney inequality, we prove stability results for the \emph{curl~curl} operator imposing weak restrictions on the strength of the perturbations. We also analyse the validity of the Gaffney inequality, for which we exploit results of V. Maz'ya and T. Shaposhnikova based on Sobolev multipliers. The thesis is organized as follows. Chapter 1 is dedicated to notation and some preliminaries. We introduce suitable function spaces and make some considerations about the Gaffney inequality. In Chapter 2 we consider the electric Maxwell problem in a cavity with perfect conductor boundary conditions, where both the electric permittivity and magnetic permeability have been normalized. We study the dependence of its eigenvalues upon variation of the shape of the cavity. First, we provide analyticity results with the appropriate Hadamard formulas for the elementary symmetric functions of the eigenvalues. We then characterize critical domains for such functions under constraint of fixed volume or fixed perimeter, and show that balls are critical shapes. Finally we provide known formulas for the eigenpairs in the case of a ball, showing that the first eigenvalue has multiplicity three. Chapter 3 is devoted to the study of the spectral stability the electric Maxwell problem. In the first part we introduce the Atlas Piola transform and develop some useful technical tools to show that, under the validity of a uniform Gaffney inequality, there occurs spectral stability for families of perturbed domains converging to a limit domain in a certain way. In the second part we treat the critical threshold case, and using machinery from homogenization theory we show that if a uniform Gaffney inequality holds, the spectral stability is still expected when the boundary of a domain undergoes a perturbation of oscillatory type. In Chapter 4 we study the qualitative behaviour of the eigenvalues of the electric Maxwell problem upon perturbation of the permittivity parameter. We first prove the local Lipschitz continuity of single eigenvalues and we show that they depend continuously with respect to the weak* topology. Then, we prove that the elementary symmetric functions of the eigenvalues depend real-analytically on the permittivity and provide formulas for their derivatives. Making use of these formulas we first consider the optimization of the symmetric functions under a suitable constraint on the permittivity and we show that they do not admit any point of local minimum or maximum. Second, we show that for a generic permittivity all the eigenvalues are simple. Finally, Chapter 5 is an appendix including known results that are used in the rest of the thesis. Precisely, it contains a detailed proof of a vector decomposition by M.Sh. Birman and M.Z. Solomyak, and an exposition of technical lemmas and theorems on the regularity for the Dirichlet Laplacian taken from the monograph by V.G. Maz'ya and T.O. Shaposhnikova on Sobolev multipliers. These are the main tools used for a proof of the Gaffney inequality presented in Chapter 1. We make a careful description of all the constants involved, and we justify the validity of uniform Gaffney inequalities used in Chapter 3.

In questa tesi si studia la dipendenza degli autovalori Maxwell in cavità elettromagnetiche che fungono da conduttori perfetti. Sfruttando una tecnica generale sviluppata da Lamberti e Lanza de Cristoforis si provano risultati di analiticità per la dipendenza delle funzioni simmetriche di autovalori che provengono da un autovalore multiplo; si dimostrano inoltre risultati alla Rellich-Nagy che descrivono il fenomeno di biforcazione corrispondente, e si applicano ad alcuni problemi di ottimizzazione di forma e di permittività. In particolare, si mostra che le palle sono forme critiche per perturbazioni isovolumetriche ed isoperimetriche del dominio. Inoltre, nell’ipotesi di una disugualianza di Gaffney uniforme, si provano risultati di stabilità per l’operatore curl curl assumendo restrizioni deboli sulla robustezza delle perturbazioni. Si studia anche la validità della disuguaglianza di Gaffney. Il Capitolo 1 è dedicato ad alcuni preliminari. Si introducono spazi funzionali idonei e si fanno alcune considerazioni riguardo la disuguaglianza di Gaffney. Nel Capitolo 2 si considera il problema di Maxwell elettrico in una cavità elettromagnetica che funge da conduttore perfetto, e dove sia permittività che permeabilità sono state normalizzate. Si studia la dipendenza degli autovalori da perturbazioni di forma del dominio. Si provano risultati di analiticità con conseguenti formule alla Hadamard per le funzioni elementari simmetriche degli autovalori. Dopodiché, si fornisce una caratterizzazione dei domini critici sotto il vincolo di volume o perimetro fissato, e si dimostra che le palle sono domini critici per entrambi i vincoli. Per concludere, si espongono formule note per gli autovalori e le autofunzioni nella palla, e si mostra che nella palla il primo autovalore Maxwell ha molteplicità 3. Il Capitolo 3 è dedicato allo studio della stabilità spettrale del problema di Maxwell elettrico. Nella prima parte si introduce la traformata di Piola di atlante e si sviluppano alcuni strumenti tecnici che servono a provare che, nell’ipotesi di una disugualianza di Gaffney uniforme, si ha la stabilità spettrale per famiglie di domini perturbati che convergono ad un dominio limite in una certa maniera. Nella seconda parte si tratta il caso critico e, usando strumenti propri della teoria dell’omogeneizzazione , si mostra che la stabilità spettrale è ancora da aspettarsi quando la frontiera del dominio è soggetta ad una perturbazione di tipo oscillatorio. Nel Capitolo 4 si studia il comportamento qualitativo degli autovalori del problema di Maxwell elettrico rispetto a perturbazioni del parametro di permittività. Dapprima si prova che i singoli autovalori sono localmente Lipschitziani, e se ne dimostra la dipendenza continua anche rispetto alla topologia debole*. In seguito, si prova che le funzioni elementari simmetriche degli autovalori dipendono in modo reale analitico dal parametro di permittività, e si espongono formule per le loro derivate. Sfruttando tali formule, da un lato si esamina l’ottimizzazione delle funzioni simmetriche sotto un vincolo idoneo sulla permittività e si dimostra che esse non ammettono alcun punto di massimo o minimo locale vincolato. Dall’altro lato, si mostra che per una permittività generica tutti gli autovalori sono semplici. Infine, il Capitolo 5 é un’appendice dove vengono raccolti alcuni risultati noti in letteratura e che sono usati nel resto della tesi. In particolar modo, essa contiene una dimostrazione dettagliata di una decomposizione vettoriale ideata da Birman e Solomyak, ed un’esposizione di lemmi tecnici e teoremi di regolarità per il Laplaciano Dirichlet ripresi dalla monografia di Maz’ya e Shaposhnikova riguardante i moltiplicatori di Sobolev. Si fa un’attenta descrizione di tutte le costanti in gioco, e si giustifica la validità di disuguaglianze di Gaffney uniformi usate nel Capitolo 3.