Quantum Pure States Statistics towards Quantum Dynamics Simulations

Despite early developments on the foundations of quantum mechanics concern the wave function, quantum statistics has been developed with the density matrix formalism, leading to very important results in explaining molecular observations. Only recently, several authors argued a new interpretation by focusing on the wave function representing the quantum state of an isolated system, showing how a single wave function can exhibit statistical properties and generate the same results expected in the standard quantum statistical framework. Starting from these results, investigation on the foundations of quantum statistical mechanics has gained recently a renewed interest. As a matter of fact, the possibility of studying single molecule properties as well as the need of a better understanding of the effect of quantum dynamics, in order to develop new nanoscaled materials suitable to quantum computing tasks, have opened new intriguing questions leading to quantum statistical approaches far from being well understood and accepted. In this framework the behaviour of a single realization of quantum systems has gained a central role in the description of molecular systems. Furthermore, in recent years, an increasing number of studies has been presented on quantum dynamics through the numerical solution of the Schrödinger equation for systems of interacting components. These studies demonstrates that Quantum Dynamics Simulations could be a practicable route. In order to study phenomena such as dissipation, relaxation and thermalization, the focus has to be moved from isolated molecules to modular systems made of mutual interacting components, with model Hamiltonians possessing a sufficiently low dimensional representation. An important issue concerns the rules to be employed for the choice of the initial quantum state for the simulation of isolated systems. As long as one considers molecular degrees of freedom interacting with a (model) environment, there are no reasons to select a particular quantum state for the overall system and, therefore, a random choice has to be performed amongst a well defined statistical ensemble of pure states. Furthermore, one would like to operate a choice assuring that the simulation of the system is in a well defined thermal state with given temperature. This necessarily calls for a statistical description like for classical systems. A useful parametrization of the wave function will be presented in order to highlight the most appropriate variable for the statistical analysis. In particular some of them, called phases, retain all the dynamical information whereas the others, called populations, are the constants of motion. The latter, in particular are very important because they describe the equilibrium properties strictly related to the thermodynamic description. Since the dynamics of wave function does not supply any information about populations, the definition of a probability distribution on these variables is required. Different probability distributions on populations have been proposed, only on the bases of reasonable assumptions and they validation has been performed only with a posteriori considerations. In particular Fresch and Moro have demonstrated how the agreement with thermodynamics can be employed to discriminate different probability distributions on pure states. This had led the uniform ensembles to be, up to now, the most self-consistent models for quantum pure states. However, in this thesis I will highlight a drawback of the uniform distribution ensemble that can be described as follow: if we bring into contact two systems, even through a perturbative interaction, we are not able to describe the equilibrium properties after the interaction within the uniform distribution statistics, since the uniform character is lost. It represents a severe shortcoming of the statistical ensemble from a methodological point of view, since closed systems can be always considered as the result of interaction among previously isolated systems. On the other hand this drawback introduces a further requirement of a different nature that can be used for the definition of a new statistical ensemble. In this work I intend to find and characterize a statistical ensemble for populations that overcomes the drawbacks of the uniform distribution of pure states. The invariance of the thermal state in the coupling of identical systems will be used as a guideline in the definition af a new probability distribution on populations. Such an ensemble for pure states, called Thermalization Resilient Ensemble, provides a convenient framework for treating the interactions between quantum systems, as long as the structure of the statistical distribution is preserved and the identification of thermodynamic properties is assured. In perspective it should be the privileged statistical ensemble to implement Quantum Dynamics Simulations. Once the average properties of the Thermalization Resilient Ensemble have been introduced, I will obtain a probability distribution on pure states with the use of a geometrical analysis on the Hilbert space. The surface elements of an ellipsoidal manifold will be related to the probability density on populations. As a matter of fact the explicit form of the probability distribution is a prerequisite in order to perform Quantum Dynamical Simulations. However the results obtained through the geometrical analysis cannot be easily extended to systems with unbounded energy spectrum and an alternative strategy has been developed. A scaling algorithm on the basis of the uniform statistical ensemble will be described and this allows a well defined sampling of a probability distribution with desired averages. In this framework I demonstrate the emergence of thermodynamic behavior in the limit of macroscopic systems. In the last part of the thesis I consider the dynamical features of the thermalization experiment. Two identical systems, initially at different temperature, will be brought in interaction and the analysis of the final equilibrium state will be performed for two different generic forms of the interaction Hamiltonian, highlighting how the statistical approach can be very useful in the definition of the equilibrium in complex quantum systems.

Nonostante i primissimi sviluppi dei fondamenti della meccanica quantistica riguardassero la funzione d’onda, la statistica quantistica si è sviluppata attraverso il formalismo della matrice densità, portando a risultati considerevoli nella descrizione di fenomeni molecolari. Solo recentemente diversi autori hanno suggerito una nuova interpretazione della statistica quantistica, focalizzandosi sulla funzione d’onda che rappresenta lo stato di un sistema quantistico isolato. Essi hanno mostrando come una singola funzione d’onda possa presentare proprietà statistiche e ricondurre agli stessi risultati attesi dalla statistica quantistica tradizionale. Grazie a questi contributi, lo studio dei fondamenti della meccanica statistica quantistica ha suscitato un rinnovato interesse. Infatti, la possibilità di studiare proprietà di singola molecola, unita alla necessità di una migliore comprensione degli effetti della dinamica quantistica per lo sviluppo di nuovi materiali nanostrutturati adatti al quantum computing, ha sollevato nuove stimolanti domande che rendono la statistica quantistica lontana dall’essere pienamente compresa e accettata. In questo contesto, il comportamento di una singola realizzazione di un sistema quantistico detiene un ruolo centrale nella descrizione di sistemi molecolari. Recentemente è stato presentato un crescente numero di studi di dinamica quantistica che prevede la soluzione numerica dell’equazione di Schrödinger per sistemi a componenti interagenti. Questi lavori dimostrano come le Simulazioni di Dinamica Quantistica possano essere una via percorribile allo scopo di studiare fenomeni quali la dissipazione, il rilassamento e la termalizzazione. L’attenzione si è quindi spostata dalle molecole isolate a sistemi costituiti da componenti mutualmente interagenti attraverso Hamiltoniani modello caratterizzati da una bassa dimensionalità. É importante a questo proposito l’individuazione di regole che possano essere utilizzate nella scelta dello stato iniziale delle simulazioni per ogni sistema isolato. Infatti, ogniqualvolta vengano considerati gradi di libertà molecolari interagenti con un ambiente modello, non esistono ragioni per selezionare uno stato particolare per il sistema rispetto ad altri, e quindi una scelta casuale all’interno di un insieme statistico ben definito deve essere effettuata. Inoltre si preferisce effettuare tale scelta in modo da assicurare al sistema un ben definito stato termico ed una data temperatura. Tutto ciò richiede una descrizione di tipo statistico analoga a quella condotta per i sistemi classici. Sarà presentata un’utile parametrizzazione della funzione d’onda allo scopo di evidenziare le variabili più adatte all’analisi statistica. Alcune di esse, dette fasi, contengono le informazioni dinamiche, mentre le altre, dette popolazioni, rappresentano le costanti del moto. Queste ultime, in particolare, sono molto importanti poiché descrivono le proprietà di equilibrio strettamente legate ad una descrizione termodinamica. L’individuazione di una distribuzione di probabilità sulle popolazioni è necessaria dato che la dinamica della funzione d’onda non fornisce nessuna informazione riguardo ad esse. Sulla base di assunzioni ragionevoli, sono state proposte diverse distribuzioni sulle popolazioni la cui validazione può essere effettuata solo attraverso considerazioni a posteriori. In particolare Fresch e Moro hanno dimostrato come l’accordo con la termodinamica possa essere utilizzato per discriminare diverse distribuzioni di probabilità sugli stati puri. Questo ha portato gli ensamble uniformi ad essere i modelli fino ad ora formulati più autoconsistenti nella descrizione di sistemi isolati. Tuttavia, in questa tesi evidenzierò un inconveniente delle distribuzioni uniformi che può essere riassunto come segue: quando vengono posti in contatto due sistemi, anche solo attraverso un’interazione perturbativa, non è più possibile descrivere le proprietà di equilibrio dopo l’interazione attraverso una distribuzione statistica di tipo uniforme, poiché perde tale carattere di uniformità. Ciò rappresenta un grave limite del modello da un punto di vista metodologico poiché sistemi chiusi possono sempre essere considerati come derivanti dall’interazione tra sistemi precedentemente isolati. D’altra parte quest’inconveniente introduce un’ulteriore proprietà di diversa natura che può essere utilizzata nella definizione di un nuovo insieme statistico. In quest’elaborato intendo trovare e caratterizzare un insieme statistico per le popolazioni che superi l’incoveniente delle distribuzioni uniformi. L’invarianza dello stato termico nell’accoppiamento di sistemi identici verrà considerato come guida nella definizione di una nuova distribuzione di probabilità sulle popolazioni. Tale ensemble, detto Thermalization Resilient Ensemble, fornisce un contesto adatto al trattamento delle interazioni tra sistemi quantistici, fintanto che la struttura della distribuzione statistica è preservata e l’identificazione delle proprietà termodinamiche assicurata. Questo potrebbe diventare l’ensemble statistico privilegiato per l’implementazione di Simulazioni di Dinamica Quantistica. Dopo aver introdotto le proprietà medie del Thermalization Resilent Ensemble, ricaverò una distribuzione di probabilità sugli stati puri, mediante un’analisi geometrica sullo spazio di Hilbert. Gli elementi di superficie di un ellissoide verranno messi in relazione alla densità di probabilità sulle popolazioni.La forma esplicita della distribuzione di probabilità, infatti, è un prerequisito indispensabile per eseguire simulazioni di Dinamica Quantistica. Tuttavia, i risultati ottenuti mediante l’analisi geometrica non possono essere facilmente estesi a sistemi con spettro delle energie non limitato e si è reso necessario lo sviluppo di una strategia alternativa. Verrà quindi descritto un algoritmo di riscalo di un ensemble statistico uniforme che permette un campionamento ben definito di una distribuzione di probabilità con i valori medi desiderati. In questo contesto dimostrerò come il comportamento termodinamico emerga nel limite di sistemi macroscopici. Nell’ultima parte di questo elaborato di tesi considererò gli aspetti dinamici dell’esperimento di termalizzazione. Due sistemi identici, inizialmente a diverse temperature, verranno messi a contatto attraverso due generiche forme dell’Hamiltoniano di interazione. Verrà poi effettuata l’analisi dello stato di equilibrio finale, evidenziando come l’approccio statistico possa essere molto utile nella definizione dell’equilibrio in sistemi quantistici complessi.