Cutting Feynman Amplitudes: from Adaptive Integrand Decomposition to Differential Equations on Maximal Cut

In this thesis we discuss, within the framework of the Standard Model (SM) of particle physics, advanced methods for the computation of scattering amplitudes at higher-order in perturbation theory. We offer a new insight into the role played by the unitarity of scattering amplitudes in the theoretical understanding and in the computational simplification of multi-loop calculations, at both the algebraic and the analytical level. On the algebraic side, generalized unitarity can be used, within the integrand reduction method, to express the integrand associated to a multi-loop amplitude as a sum of fundamental, irreducible contributions, yielding to a decomposition of the amplitude as a linear combination of master integrals. In this framework, we propose an adaptive formulation of the integrand decomposition algorithm, which systematically adjusts to the kinematics of the individual integrands the dimensionality of the momentum space, where unitarity cuts are performed. This new formulation makes the integrand decomposition method, which in the past played a key role in streamlining one-loop computations, an efficient tool also at multi-loop level. We provide evidence of the generality of the proposed method by determining a universal parametrization of the integrand basis for two-loop amplitudes in arbitrary kinematics and we illustrate its technical feasibility in the first automated implementation of the analytic integrand decomposition at one- and two-loop level. On the analytic side, we discuss the role of maximal-unitarity for the solution of differential equations for dimensionally regulated Feynman integrals. The determination of the analytic expression of the master integrals as a Laurent expansion in the dimensional regulating parameter requires the knowledge of the solutions of the homogeneous part of their differential equations at d=4. In all cases where Feynman integrals fulfil genuine first-order differential equations with a linear dependence on d, the corresponding homogeneous solutions can be determined through the Magnus exponential expansion. In this work we apply the latter to two-loop corrections to several SM processes such as the Higgs decay to weak vector bosons, H → WW, triple gauge couplings ZWW and γ∗WW and to the elastic scattering μe → μe in quantum electrodynamics. In some cases, the inadequacy of the Magnus method hints at the presence of master integrals that obey higher-order differential equations, for which no general theory exists. In this thesis we show that maximal-cuts of Feynman integrals solve, by construction, such homogeneous equations regardless of their order and complexity. Hence, whenever a Feynman integral obeys an irreducible higher-order differential equation, the computation of its maximal-cut along independent contours provides a closed integral representation of the full set of independent homogeneous solutions. We apply this strategy to the two-loop elliptic integrals that appear in heavy-quark mediated corrections to gg → gg and gg → gH as well as to the three-loop massive banana graph, which constitute the first example of Feynman integral that obeys a third-order differential equation. In the light of the results presented in this thesis, generalized unitarity emerges as a powerful tool not only for handling the algebraic complexity of perturbative calculations but also for investigating the nature of new classes of mathematical functions encountered in particle physics.

In questa tesi si discutono metodi avanzi per il calcolo dei contributi perturbativi alle ampiezze di scattering nel contesto del Modello Standard delle interazioni fondamentali. In particolare, si avanzano nuove interpretazioni del ruolo dell’unitarietà delle ampiezze di scattering, sia nella comprensione teorica che nella semplificazione computazionale dei calcoli a multi-loop. Dal punto di vista prettamente algebrico della decomposizione a livello integrando, l’unitarietà generalizzata consente di esprimere l’integrando associato ad una qualunque ampiezza a multi-loop in termini di una combinazione lineare di un numero minimo di integrandi irriducibili, a loro volta associati ad una base di integrali indipendenti, generalmente chiamati master integral. In questo contesto, viene avanzata una formulazione adattiva dell’algoritmo di decomposizione integranda, che parametrizza in maniera sistematica lo spazio dei momenti di ciascun integrando a seconda della relativa configurazione cinematica. Questa riformulazione rende la decomposizione a livello integrando, che in passato ha svolto un ruolo fondamentale nella semplificazione ad automazione dei calcoli a un loop, uno strumento versatile ed efficiente anche a multi-loop. A riprova della generalità del metodo proposto, in questa tesi vengono determinate le basi integrande universali per ampiezze a due loop con cinematica arbitraria e si illustra la sua fattibilità tecnica attraverso la prima implementazione automatica della decomposizione integranda analitica a uno e due loop. Sul piano analitico, invece, si discute il ruolo dell’unitarietà generalizzata nella soluzione delle equazioni differenziali per integrali di Feynman in regolarizzazione dimensionale. La determinazione dell’espressione analitica dei master integral in termini di un’espansione di Laurent nel parametro regolarizzatore richiede la conoscenza delle soluzioni omogenee del sistema di equazioni differenziali a d=4. Nei casi in cui gli integrali di Feynman soddisfino equazioni differenziali del primo ordine con una dipendenza lineare in d, tali soluzioni omogenee posso essere determinate attraverso la soluzione esponenziale di Magnus. In questa tesi, quest’ultima viene applicata al calcolo dei master integrals a due loop per diversi processi di scattering nel Modello Standard, quali il decadimento del bosone di Higgs in the bosoni elettro-deboli W, gli accoppiamenti di triplo gauge ZWW e γ∗WW, nonché lo scattering elastico tra elettrone e muone in elettrodinamica quantistica. In un certo numero di casi, l’inadeguatezza del metodo di Magnus è indice della presenza di master integral che soddisfano equazioni differenziali di ordine più elevato, per le quali non esiste una sistematica trattazione matematica. In questa tesi mostriamo che i maximal-cut degli integrali di Feynman soddisfano, per costruzione, la parte omogenea delle relative equazioni differenziali, indipendentemente dal loro ordine e complessità. Di conseguenza, ogniqualvolta un integrale di Feynman soddisfa un’equazione di ordine elevato, il calcolo del maximal-cut su domini di integrazione indipendenti fornisce una rappresentazione integrale chiusa di un insieme completo di soluzioni omogenee. Questa strategia viene applicata agli integrali ellittici a due-loop che compaiono nelle correzioni ai processi gg → gg e gg → gH mediate da quark pesanti e al diagramma a banana a tre loop, che costituisce il primo esempio di integrali di Feynman associato ad un’equazione differenziale del terzo ordine. I risultati presentati in questa tesi illustrano l’efficacia dei metodi di unitarietà, sia nella gestione della complessità algebrica dei calcoli a multi-loop, sia nell’indagine matematica delle nuove classi di funzioni incontrate nella fisica delle interazioni fondamentali.