A Study Of Arbitrage Opportunities In Financial Markets Without Martingale Measures

This Ph.D. thesis consists of four dependent chapters and is devoted to a systematic study of arbitrage opportunities, with particular attention to general and incomplete market models with cadlag semimartingales. In Chapter 1, we state our motivation, and then briefly review the theory of no arbitrage, and the previous studies of arbitrage opportunities in the literature. We introduce a general framework, which will be used throughout this dissertation. We discuss no-arbitrage conditions, utility optimization problems and recall results from the literature. Finally, we state three research questions and summarize new results. Chapter 2 solves the problem of finding arbitrages when investors are heterogeneous in the sense that their beliefs correspond to non-equivalent probabilities. Optimal arbitrage profit and the corresponding strategy are carefully investigated by techniques of non-equivalent measure changes. We also discuss the financial implications of this study and give some meaningful examples. In contrast to typical Brownian models in which arbitrages (if exist) are fragile, some of our arbitrage examples are shown to be robust if market’s frictions such as transaction costs and model misspecification are taken into account. In Chapter 3, we study the problem of optimal investment with the possibility of intermediate consumption and stochastic field utility. We show that the no unbounded profit with bounded risk condition suffices to establish the key duality relations of utility maximization. In Chapter 4, we investigate insider trading activities. Suppose that there exists an insider, who has access to some private information at the beginning of trading. Financial mathematics uses the terminology ”initial enlargement of filtration” to explain this circumstance. We first consider the problem of logarithmic utility optimization for the insider. We are able to characterize the insider’s expected utility by duality method and hence give a new sufficient condition for the condition no unbounded profit with bounded risk. Thanks to the tools of non-equivalent measure changes in Chapter 2, we compute the superhedging price of any claim in the view of the insider and examine the question of optimal arbitrage profit.

La presente tesi di dottorato è costituita da quattro capitoli tra loro dipendenti ed è dedicata allo studio sistematico di opportunità d’arbitraggio, con particolare attenzione a modelli di mercato generali e incompleti, in presenza di semimartingale cadlag. Nel Capitolo 1 sono riportate le motivazioni al presente lavoro di ricerca, insieme ad un breve riepilogo della teoria del non arbitraggio e della letteratura riguardante le opportunita di arbitraggio. Introduciamo nozioni e concetti generali, che saranno utilizzati ovunque nella tesi. Discutiamo condizioni di non arbitraggio e problemi di ottimizzazione dell’utilità, richiamando risultati noti in letteratura. Infine, enunciamo tre problemi aperti e riassumiamo i risultati nuovi ottenuti nella tesi. Nel Capitolo 2 forniamo una soluzione al problema di determinare arbitraggi quando gli investitori sono eterogenei, nel senso che le loro aspettative sono descritte tramite misure di probabilità non equivalenti. Il profitto derivante da un arbitraggio ottimale e la corrispondente strategia sono studiati attentamente per mezzo di tecniche legate al cambio di misura non equivalente. Discutiamo inoltre le implicazioni finanziarie di tale studio e forniamo alcuni esempi significativi. Contrariamente a quanto accade nei modelli browniani, in cui gli arbitraggi (se esistono) sono “fragili”, alcuni degli arbitraggi forniti nei nostri esempi sono robusti quando le frizioni del mercato, come i costi di transazione oppure l’errata specificazione del modello (“model misspecification”), sono presi in considerazione. Nel Capitolo 3 studiamo il problema di investimento ottimale con possibilita di consumo intertemporale. Mostriamo che la condizione ”no unbounded profit with bounded risk” è sufficiente a stabilire le relazioni di dualità fondamentali per la massimizzazione dell’utilità. Nel Capitolo 4 analizziamo le attivita di ”insider trading”. Supponiamo che esista un insider, il quale ha accesso ad alcune informazioni private nel momento in cui inizia l’attivita di trading. In finanza matematica si utilizza la terminologia ”allargamento iniziale della filtrazione” per denotare questa circostanza. Consideriamo innanzitutto il problema di ottimizzazione con utilità logaritmica per un insider. Siamo in grado di caratterizzare l’utilità attesa dell’insider attraverso il metodo di dualità e, quindi, di fornire una nuova condizione sufficiente per ”no unbounded profit with bounded risk”. Grazie alle tecniche di cambio di misura non equivalente presentate nel Capitolo 2, calcoliamo il prezzo ”superhedging” per l’insider di qualsiasi prodotto derivato ed esaminiamo il profitto derivante da un arbitraggio ottimale.