On regular and singular points of the minimum time function

In this thesis, we study the regularity of the minimum time function Τ for both linear and nonlinear control systems in Euclidean space. We first consider nonlinear problems satisfying Petrov condition. In this case, Τ is locally Lipschitz and then is differentiable almost everywhere. In general, Τ fails to be differentiable at points where there are multiple time optimal trajectories and its differentiability at a point does not guarantee continuous differentiability around this point. We show that, under some regularity assumptions, the non-emptiness of proximal subdifferential of the minimum time function at a point x implies its continuous differentiability on a neighborhood of Υ. The technique consists of deriving sensitivity relations for the proximal subdifferential of the minimum time function and excluding the presence of conjugate points when the proximal subdifferential is nonempty. We then study the regularity the minimum time function Τ to reach the origin under controllability conditions which do not imply the Lipschitz continuity of Τ. Basing on the analysis of zeros of the switching function, we find out singular sets (e.g., non - Lipschitz set, non - differentiable set) and establish rectifiability properties for them. The results imply further regularity properties of Τ such as the SBV regularity, the differentiability and the analyticity. The results are mainly for linear control problems.

La presente tesi è dedicata allo studio della regolarità della funzione tempo minimo Τ per sistemi di controllo sia lineari che non lineari in dimensione finita. Si considerano dapprima problemi non lineari in cui la condizione di controllabilità detta di Petrov è soddisfatta. Come è ben noto, in questo caso Τ è localmente Lipschitziana e quindi è differenziabile quasi ovunque. In generale, Τ non è differenziabile nei punti dai quali escono diverse traiettorie ottimali e inoltre il fatto che Τ è differenziabile in un punto non garantisce che lo sia in un intorno (l'insieme dei punti di differenziabilità non è aperto). Imponendo alcune condizioni di regolarità sulla dinamica, si dimostra che se il sottodifferenziale prossimale di Τ è non vuoto in un punto x, allora Τ è differenziabile in tutto un intorno di x. La tecnica usata consiste nel derivare relazioni di sensitività per il sottodifferenziale prossimale di Τ e nell'escludere la presenza di punti coniugati dove tale sottodifferenziale è non vuoto. In secondo luogo si studia la regolarità di Τ sotto condizioni di controllabilità più generali, tali da non imporre la Lipschitzianità. In questo caso il bersaglio è l'origine e la dinamica è -- principalmente -- lineare a coefficienti costanti. Si identificano alcuni insiemi singolari (cioè dove Τ non è differenziabile), ad esempio l'insieme dove Τ non è Lipschitz e l'insieme dei punti dove l'insieme raggiungibile presenta più di un versore normale, e si dimostrano risultati di rettificabilità, in questo modo mostrando che sono ``molto piccoli''. Come conseguenza si ricavano ulteriori risultati di regolarità per Τ, fra i quali la regolarità SBV e la differenziabilità e l'analiticità in aperti il cui complementare ha dimensione inferiore a quella dello spazio degli stati. La tecnica usata è basata principalmente su un'analisi accurata degli zeri della cosiddetta funzione di switching.