New strategies for curve and arbitrary-topology surface constructions for design

This dissertation presents some novel constructions for curves and surfaces with arbitrary topology in the context of geometric modeling. In particular, it deals mainly with three intimately connected topics that are of interest in both theoretical and applied research: subdivision surfaces, non-uniform local interpolation (in both univariate and bivariate cases), and spaces of generalized splines. Specifically, we describe a strategy for the integration of subdivision surfaces in computer-aided design systems and provide examples to show the effectiveness of its implementation. Moreover, we present a construction of locally supported, non-uniform, piecewise polynomial univariate interpolants of minimum degree with respect to other prescribed design parameters (such as support width, order of continuity and order of approximation). Still in the setting of non-uniform local interpolation, but in the case of surfaces, we devise a novel parameterization strategy that, together with a suitable patching technique, allows us to define composite surfaces that interpolate given arbitrary-topology meshes or curve networks and satisfy both requirements of regularity and aesthetic shape quality usually needed in the CAD modeling framework. Finally, in the context of generalized splines, we propose an approach for the construction of the optimal normalized totally positive (B-spline) basis, acknowledged as the best basis of representation for design purposes, as well as a numerical procedure for checking the existence of such a basis in a given generalized spline space. All the constructions presented here have been devised keeping in mind also the importance of application and implementation, and of the related requirements that numerical procedures must satisfy, in particular in the CAD context.

Questa tesi presenta alcune nuove costruzioni per curve e superfici a topologia arbitraria nel contesto della modellazione geometrica. In particolare, riguarda principalmente tre argomenti strettamente collegati tra loro che sono di interesse sia nella ricerca teorica sia in quella applicata: le superfici di suddivisione, l'interpolazione locale non-uniforme (nei casi univariato e bivariato), e gli spazi di spline generalizzate. Nello specifico, descriviamo una strategia per l'integrazione di superfici di suddivisione in sistemi di progettazione assistita dal calcolatore e forniamo degli esempi per mostrare l'efficacia della sua implementazione. Inoltre, presentiamo un metodo per la costruzione di interpolanti univariati polinomiali a tratti, non-uniformi, a supporto locale e che hanno grado minimo rispetto agli altri parametri di progettazione prescritti (come l'ampiezza del supporto, l'ordine di continuità e l'ordine di approssimazione). Sempre nel contesto dell'interpolazione locale non-uniforme, ma nel caso di superfici, introduciamo una nuova strategia di parametrizzazione che, insieme a una opportuna tecnica di patching, ci permette di definire superfici composite che interpolano mesh o network di curve a topologia arbitraria e che soddisfano i requisiti di regolarità e di qualità estetica di forma solitamente richiesti nell'ambito della modellazione CAD. Infine, nel contesto delle spline generalizzate, proponiamo un approccio per la costruzione della base (B-spline) ottimale, normalizzata, totalmente positiva, riconosciuta come la miglior base di rappresentazione ai fini della progettazione. In aggiunta, forniamo una procedura numerica per controllare l'esistenza di una tale base in un dato spazio di spline generalizzate. Tutte le costruzioni qui presentate sono state ideate tenendo in considerazione anche l'importanza delle applicazioni e dell'implementazione, e dei relativi requisiti che le procedure numeriche devono soddisfare, in particolare nel contesto CAD.