Portfolio optimization and option pricing under defaultable Lévy driven models

In this thesis we study some portfolio optimization and option pricing problems in market models where the dynamics of one or more risky assets are driven by Lévy processes, and it is divided in four independent parts. In the first part we study the portfolio optimization problem, for the logarithmic terminal utility and the logarithmic consumption utility, in a multi-defaultable Lévy driven model. In the second part we introduce a novel technique to price European defaultable claims when the pre-defaultable dynamics of the underlying asset follows an exponential Lévy process. In the third part we develop a novel methodology to obtain analytical expansions for the prices of European derivatives, under stochastic and/or local volatility models driven by Lévy processes, by analytically expanding the integro-differential operator associated to the pricing problem. In the fourth part we present an extension of the latter technique which allows for obtaining analytical expansion in option pricing when dealing with path-dependent Asian-style derivatives.

In questa tesi studiamo alcuni problemi di portfolio optimization e di option pricing in modelli di mercato dove le dinamiche di uno o più titoli rischiosi sono guidate da processi di Lévy. La tesi é divisa in quattro parti indipendenti. Nella prima parte studiamo il problema di ottimizzare un portafoglio, inteso come massimizzazione di un’utilità logaritmica della ricchezza finale e di un’utilità logaritmica del consumo, in un modello guidato da processi di Lévy e in presenza di fallimenti simultanei. Nella seconda parte introduciamo una nuova tecnica per il prezzaggio di opzioni europee soggette a fallimento, i cui titoli sottostanti seguono dinamiche che prima del fallimento sono rappresentate da processi di Lévy esponenziali. Nella terza parte sviluppiamo un nuovo metodo per ottenere espansioni analitiche per i prezzi di derivati europei, sotto modelli a volatilità stocastica e locale guidati da processi di Lévy, espandendo analiticamente l’operatore integro-differenziale associato al problema di prezzaggio. Nella quarta, e ultima parte, presentiamo un estensione della tecnica precedente che consente di ottenere espansioni analitiche per i prezzi di opzioni asiatiche, ovvero particolari tipi di opzioni il cui payoff dipende da tutta la traiettoria del titolo sottostante.