Generalised Unitarity, Integrand Decomposition, and Hidden properties of QCD Scattering Amplitudes in Dimensional Regularisation

In this thesis, we present new developments for the analytic calculation of tree- and multi-loop level amplitudes. Similarly, we study and extend their analytic properties. We propose a Four-dimensional formulation (FDF) equivalent to the four-dimensional helicity scheme (FDH). In our formulation, particles propagating inside the loop are represented by four dimensional massive internal states regulating the divergences. We provide explicit four-dimensional representations of the polarisation and helicity states of the particles propagating in the loop. Within FDF, we use integrand reduction and four dimensional unitarity to perform analytic computations of one-loop scattering amplitudes. The calculation of tree level scattering amplitude, in this framework, allows for a simultaneous computation of cut-constructible and rational parts of one-loop scattering amplitudes. We present a set of non-trivial examples, showing that FDF scheme is suitable for computing important $2\to2,3,4$ partonic amplitudes at one-loop level. We start by considering two gluons production by quark anti-quark annihilation. Then, the (up to four) gluon production, $gg\to ng$ with $n=2,3,4$. And finally, the Higgs and (up to three) gluons production via gluon fusion, $gg\to ng\,H$ with $n=1,2,3$, in the heavy top mass limit. We also investigate, by following a diagrammatic approach, the role of colour-kinematics (C/K) duality of off-shell diagrams in gauge theories coupled to matter. We study the behaviour of C/K-duality for theories in four- and in $d$-dimensions. The latter follows the prescriptions given by FDF. We show that the Jacobi relations for the kinematic numerators of off-shell diagrams, built with Feynman rules in axial gauge, reduce to a C/K-violating term due to the contributions of sub-graphs only. We discuss the role of the off-shell decomposition in the direct construction of higher-multiplicity numerators satisfying C/K-duality. We present the QCD process $gg\to q\bar{q}g$. An analogous study, within FDF, is carried out for $d$-dimensionally regulated amplitudes. The computation of dual numerators generates, as byproduct, relations between tree-level amplitudes with different orderings. These relations turn to be the Bern-Carrasco-Johansson (BCJ) identities for four- and $d$-dimensionally regulated amplitudes. We combine BCJ identities and integrand reduction methods to establish relations between one-loop integral coefficients for dimensionally regulated QCD amplitudes. We also elaborate on the radiative behaviour of tree-level scattering amplitudes in the soft regime. We show that the subleading soft term in single-gluon emission of quark-gluon amplitudes in QCD is controlled by differential operators, whose universal form can be derived from both Britto-Cachazo-Feng-Witten recursive relations and gauge invariance, as it was shown to hold for graviton and gluon scattering. In the last part of the thesis, we describe the main features of the multi-loop calculations. We briefly describe the adaptive integrand decomposition (AID), a variant of the standard integrand reduction algorithm. AID exploits the decomposition of the space-time dimension in parallel and orthogonal subspaces. We focus, in particular, on the calculation of $2\to2,3$ partonic amplitudes at two loop-level

In questa tesi discutiamo le proprietà di analiticità delle ampiezze di scattering e presentiamo nuovi metodi per il loro calcolo analitico, sia a tree-level e agli ordini perturbativi successivi. Proponiamo un nuovo schema di regolarizzazione dimensionale, la Four-dimensional formulation (FDF), che mostriamo equivalente al Four-dimensional helicity scheme (FDH). Nella nostra formulazione, consideriamo le particelle che si propagano all'interno dei loop in quattro dimensioni, fornendo una rappresentazione esplicitamente quadridimensionale dei loro stati di polarizzazione ed elicità. La massa di tali particelle virtuali agisce da regolatore delle divergenze. Lavorando in FDF, utilizziamo le tecniche di unitarietà e il metodo dell'integrand reduction per calcolare analiticamente ampiezze di scattering a un loop, mostrando che la conoscenza delle ampiezze a tree-level consente, in questo formalismo, di ottenere sia la cosiddetta parte cut-constructibile dell'ampiezza di loop sia i suoi termini razionali. Presentiamo una serie di esempi non banali e illustriamo come FDF consenta di calcolare ampiezze partoniche per processi $2\to 2,3,4$ di notevole rilevanza fenomenologica. In particolare, iniziamo considerando la produzione di due gluoni a partire da una coppia di quark-antiquark per poi analizzare ampiezze puramente gluoniche del tipo $gg\to ng$, con $n=2,3,4$. Infine, lavorando nel limite di massa infinita del quark top, presentiamo i risultati per la produzione via gluon-fusion di un bosone di Higgs in associazione con jet gluonici, $gg\to ngH$, $n=1,2,3$. Seguendo un approccio diagrammatico, investighiamo il ruolo della colour-kinematics duality (C/K) in teorie di gauge accoppiate alla materia, sia in quattro che in $d$ dimensioni, adottando, nel secondo caso, le prescrizioni di FDF. Mostriamo che le identità di Jacobi tra i numeratori cinematici dei diagrammi di Feynman off-shell (per i quali utilizziamo il gauge assiale) producono violazioni della C/K dualità riconducibili all'esclusivo contributo di sottodiagrammi. Discutiamo il ruolo di tale decomposizione off-shell nella costruzione diretta di numeratori esplicitamente duali. In particolare, analizziamo il processo $gg\to q\bar{q}g$ in quattro dimensioni per poi estendere tale studio, mediante l'utilizzo di FDF, al caso $d$-dimensionale. Nel seguito, studiamo il comportamento delle ampiezze a tree-level di QCD nel limite di emissione di radiazione soffice. Nel caso dell'emissione di un singolo gluone, mostriamo che il termine sottodominante nell'approssimazione soffice dell'ampiezza è descritto da operatori differenziali la cui espressione universale può essere derivata sia delle relazioni di ricorrenza di Britto-Cachazo-Feng-Witten sia dalle proprietà di invarianza di gauge dell'ampiezza. Tali proprietà si rivelano valide, oltre che per processi gluonici, per lo scattering tra gravitoni. Nell'ultima parte di questa tesi, discutiamo le caratteristiche principali del calcolo di ampiezze di scattering oltre un loop. Descriviamo brevemente il metodo dell'adaptive integrand decomposition (AID), una formulazione alternativa della tecnica di integrand decomposition tradizionale, che sfrutta la scomposizione dello spazio-tempo nei sottospazi parallelo ed ortogonale alla cinematica esterna. In particolare, ci concentriamo su calcolo di ampiezze partoniche $2\to2,3$ a due loop.