Integrated likelihood for the treatment of nuisance parameters

In literature, several tools have been proposed to make inference about a parameter of interest ψ in presence of nuisance parameters. Among these, the integrated likelihood seems to gain popularity. Commonly used in Bayesian inference, the integrated likelihood has been recently studied also under the frequentist paradigm. We contribute to this analysis studying first its properties in presence of many nuisance parameters, and in particular in situations when the number of nuisance parameters increases with the sample size. In this setting, indeed, the usual inferential tools, based on the profile likelihood, may perform poorly, and the use of the integrated likelihood can be an alternative to higher order methods. In particular, we focus on the asymptotic behaviour of the signed square root integrated likelihood ratio statistic, studied in a two-index asymptotics setting, in which both the sample size and the dimension of the nuisance parameter increase to infinity. As a second topic of the thesis, when there is a sufficient statistic for the nuisance parameter, we study conditions of equivalence of integrated and conditional likelihoods. Finally, some efforts are done to study the effect of the presence of nuisance parameters on pairwise likelihood and on the related score function. A correction useful to reduce the profile pairwise score bias is presented.

In letteratura, vari strumenti sono stati introdotti per fare inferenza su un parametro di interesse ψ in presenza di parametri di disturbo. Tra questi, la verosimiglianza integrata sembra guadagnare popolarit`. Usata comunemente nell’inferenza bayesiana, la verosimiglianza integrata è stata recentemente oggetto di studi approfonditi anche in ambito frequentista. Il contributo della tesi in questo ambito consiste in primo luogo nello studiare le proprietà della verosimiglianza integrata in presenza di parametri di disturbo con dimensione elevata, in particolare in situazioni in cui il numero dei parametri di disturbo cresce all’aumentare della numerosità campionaria. In questo contesto, infatti, gli strumenti inferenziali usuali, basati sulla verosimiglianza profilo, possono fornire risultati inaccurati, e l’uso della verosimiglianza integrata risulta una valida alternativa a strumenti basati su approssimazioni asintotiche di ordine più elevato. Particolare attenzione è rivolta all’analisi del comportamento asintotico della statistica radice con segno del rapporto di verosmiglianza integrata, studiata in un doppio ordine asintotico, in cui sia la numerosità campionaria, sia la dimensione del parametro di disturbo, divergono. In presenza di una statistica sufficiente per il parametro di disturbo, inoltre, sono studiati i casi di equivalenza tra la verosimiglianza integrata e condizionata. Infine, sono presentati alcuni contributi relativi allo studio degli effetti della presenza di parametri di disturbo sulla verosimiglianza a coppie e sulla relativa funzione punteggio profilo, per la quale è presentata una correzione utile per ridurne la distorsione.