Modellizzazione e previsione della domanda di variabili del mercato elettrico mediante analisi di dati funzionali

In this thesis we use a relatively new modeling technique based on functional data analysis for demand and price prediction. The basic novelty of our problem is that we are going to predict not just a value at some point, but a whole function of the price depending on the cumulative offered quantity. As far as we know, non-parametric mesh-free interpolation techniques were never considered for the problem of modeling the daily supply and demand curves. The main goal of this thesis is to model and forecast the whole supply and demand curves and the variables related to electricity markets, such as prices and demand. We will show that the forecasting of the whole curves gives deep insight into the electricity market and allows to improve the accuracy of forecasting. Chapter 1 provides a brief overview of previous research on short term forecast. Short term forecast proved to be a very challenging task due to some specific features. In the literature, different methods have been discussed. Functional data analysis is extensively used in other fields of science, but it has been not much explored in the electricity market setting. In Chapter 2 the mathematical preliminaries regarding the infinite dimensional stochastic processes relevant for this thesis are provided. Mainly, we follow the monograph by Bosq, which introduces functional linear time series. Chapter 3 describes radial basis function interpolation techniques. The first task for in our thesis is to make an appropriate algorithm to present the information about electricity prices and demands, in particular to approximate a monotone piecewise constant function. This problem is similar to another one already studied in numerical analysis, in particular in the context of approximation theory with meshless methods. The use of radial basis functions have attracted increasing attention in recent years as an elegant scheme for high-dimensional scattered data approximation, an accepted method for machine learning, one of the foundations of mesh-free methods and so on. In Chapter 4 we present a parsimonious way for representing supply and demand curves, using a mesh-free method based on radial basis functions. Using the tools of functional data analysis, we are able to approximate the original curves with far less parameters than the original ones. Namely, in order to approximate piecewise constant monotone functions, we are using linear combinations of integrals of Gaussian functions. We also test this new approach with the aim of forecasting supply and demand curves and finding the intersection of the predicted curves in order to obtain the market clearing price. In assessing the goodness of our method, we compare it with models with similar complexity in terms of dependence of the past, but only based on the clearing price. Our forecasting errors are smaller compared with these univariate models. In particular, our analysis show that our multivariate approach leads to better results than the univariate one in terms of different error measures. In Chapter 5 we consider supply and demand curves as stochastic processes with values in a functional space. In order to deal with the huge amount of bid data, we study linear transformations of multivariate stochastic processes. It is known fact that a linear transformation of a vector ARMA process is again an ARMA process. However, in general, there are transformations of a finite order AR(p) process that do not admit a finite order AR representation, but just a mixed ARMA representation. We obtained a characterization result regarding the conditions that guarantees that a linear transformation of a vector AR process is again an AR process both in finite and in infinite dimension, and we apply these results to the model of Ziel and Steinert

In questa tesi utilizziamo una tecnica di modellizzazione relativamente nuova basata sull'analisi dei dati funzionali per la previsione della domanda e dei prezzi. La novità fondamentale del nostro problema è che prediremo non solo un valore in un determinato punto, ma un'intera funzione del prezzo che dipende dalla quantità cumulativa offerta. Per quanto ne sappiamo, le tecniche di interpolazione senza mesh non parametriche non sono mai state prese in considerazione per il problema della modellizzazione delle curve di domanda e offerta giornaliere. L'obiettivo principale di questa tesi è modellizzare e prevedere tutte le curve di domanda e offerta e le variabili relative ai mercati elettrici, come i prezzi e la domanda. Dimostreremo che la previsione di tutte le curve fornisce una visione approfondita del mercato elettrico e consente di migliorare l'accuratezza delle previsioni. Il Capitolo 1 fornisce una breve panoramica delle ricerche precedenti sulle previsioni a breve termine. Le previsioni a breve termine si sono rivelate un'attività molto impegnativa a causa di alcune caratteristiche specifiche. L'analisi dei dati funzionali è ampiamente utilizzata in altri settori disciplinari, ma è stata poco esplorata nel contesto del mercato elettrico. IL Capitolo 2 presenta i preliminari matematici riguardanti i processi stocastici a dimensione infinita rilevanti per questa tesi. Principalmente, seguiamo la monografia di Bosq, che introduce serie storiche lineari funzionali. Il Capitolo 3 descrive le tecniche di interpolazione delle funzioni radiali di base. Il primo compito per la nostra tesi è quello di creare un algoritmo appropriato per presentare le informazioni sui prezzi e le richieste dell'elettricità, in particolare per approssimare una funzione monotona costante a tratti. Questo problema è simile ad un altro già studiato in analisi numerica, in particolare nell'ambito della teoria dell'approssimazione con metodi meshless. Nel Capitolo 4 presentiamo un metodo parsimonioso per rappresentare le curve di domanda e offerta, usando un metodo meshless basato su funzioni radiali di base. Utilizzando gli strumenti di analisi dei dati funzionali, siamo in grado di approssimare le curve originali con molti meno parametri di quelli iniziali. Per approssimare funzioni monotone costanti a tratti, stiamo usando combinazioni lineari di integrali di funzioni gaussiane. Inoltre, testiamo questo nuovo approccio con l'obiettivo di prevedere le curve di domanda e offerta e trovare l'intersezione delle curve previste per ottenere il prezzo di equilibrio di mercato. Nel valutare l'efficacia del nostro metodo, lo confrontiamo con modelli con complessità simile in termini di dipendenza dal passato, ma basati solo sul prezzo di equilibrio di mercato. I nostri errori di previsione sono minori rispetto a questi modelli univariati. In particolare, la nostra analisi mostra che il nostro approccio multivariato porta a risultati migliori rispetto a quello univariato in termini di diverse misure di errore. Nel Capitolo 5 consideriamo le curve di domanda e offerta come processi stocastici con valori in uno spazio funzionale. Per gestire l'enorme quantità di dati di offerta, abbiamo studiato trasformazioni lineari di processi stocastici multivariati. é noto che una trasformazione lineare di un processo ARMA vettoriale è di nuovo un processo ARMA. Tuttavia, in generale, ci sono trasformazioni di un processo AR(p) di ordine finito che non ammettono una rappresentazione AR di ordine finito, ma solo una rappresentazione ARMA mista. Abbiamo ottenuto un risultato di caratterizzazione relativo alle condizioni che garantiscono che una trasformazione lineare di un processo AR vettoriale sia ancora un processo AR sia di dimensione finita che di dimensione infinita, e applichiamo questi risultati al modello di Ziel e Steinert.