On finite fuel irreversible investment problems

This thesis is focused on finite fuel irreversible investment problems, motivated by their application in electricity markets. Through the thesis we study different models of optimally increase the power production in order to obtain maximum utilities by selling the produced energy. We start Chapter 1 by describing the general model of finite fuel irreversible investment problems that will be used through this thesis. Then, we review the main results on the solution of this type of problems: the Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation and infinite dimensional stochastic Kuhn-Tucker (KKT) conditions. In Chapter 2 we study the electricity market problem, where it is considered a big company that aims to find the optimal strategy of increasing the renewable installed power in order to maximize the utility of selling the electricity in the market net of the installation costs, assuming that the increments in power production reduce the long mean of the electricity price. First, we test the real impact of the increments of renewable installed power in the electricity price in Italy, and assess how much the renewable installation strategy which was put in place in Italy deviated from the optimal one obtained from the model in the period 2012-2018. Then, we extend the single company model to the case of N companies and study the cooperative game of a social planner point of view. Also, we study the competitive situation when there are two companies presented in the market. We characterize explicitly the Nash equilibrium for the competitive situation when the electricity price is not affected by installed power increments and we compare it with the Pareto optima. In Chapter 3 we study the optimal stochastic irreversible investment problem under limited resources in a market with N firms. We prove the optimality of an admissible policy using the generalized stochastic KKT condition. Then, we reformulate the problem in term of measures in order to study the asymptotic behavior when the number of firms goes to infinity. We prove the existence of a solution in such a framework and we study if the limit of the solution the finite firm problem is still an admissible measure and a solution for the mean field control case. The thesis ends with Chapter 4, where we extend the first order condition for the finite fuel irreversible investment problem, considering market impact. The result is proved for the particular case when there is a single company, the shock process follows an Ornstein-Uhlenbeck process and the utility functional is linear in both the controlled dynamics and the control.

Questa tesi è concentrata sui problemi di investimento irreversibile con risorse limitate, motivati ​​dalla loro applicazione nei mercati elettrici. Attraverso la tesi studiamo diversi modelli su come aumentare in modo ottimale la produzione di energia con l'obiettivo di ottenere le massime utenze vendendo l'energia prodotta. Iniziamo il Capitolo 1 descrivendo il modello generale dei problemi di investimento irreversibile con risorse limitate che verrà utilizzato in questa tesi. Esaminiamo i principali risultati sulla soluzione di questo tipo di problemi: l'equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) e le condizioni stocastiche infinite dimensionali di Kuhn-Tucker (KKT). Nel Capitolo 2 si studia il problema di mercato elettrico, dove è considerata una grande azienda che cerca la strategia ottimale per aumentare la potenza rinnovabile installata, in modo di massimizzare l'utilità di vendere l'energia elettrica sul mercato al netto dei costi di installazione, assumendo che gli incrementi nella produzione di energia riducono la media del prezzo dell'elettricità. In primo posto, testiamo il reale impatto degli incrementi di potenza installata rinnovabile sul prezzo dell'energia elettrica in Italia e valutiamo quanto la strategia di installazione rinnovabile messa in atto in Italia si sia discostata da quella ottimale ottenuta dal modello nel periodo 2012-2018. Dopodiché, estendiamo il modello con una singola azienda al caso di N aziende e studiamo il gioco cooperativo dal punto di vista di un pianificatore sociale. Inoltre, studiamo la situazione competitiva quando ci sono due società presentate sul mercato. Caratterizziamo esplicitamente l'equilibrio di Nash per la situazione competitiva quando il prezzo dell'energia elettrica non è influenzato dagli incrementi di potenza installata e lo confrontiamo con l'ottimo di Pareto. Nel capitolo 3 studiamo il problema di investimento irreversibile con risorse limitate in un mercato con N aziende. Dimostriamo l'ottimalità di una politica ammissibile utilizzando la condizione stocastiche generalizzate di KKT. Dopdiché, riformuliamo il problema in termini di misure per studiare il comportamento asintotico quando il numero di imprese tende all'infinito. Dimostriamo l'esistenza di una soluzione in tale approccio e studiamo se il limite della soluzione del problema con un numero finito di aziende è ancora una misura ammissibile e se è una soluzione per il caso di controllo di campo medio. La tesi si conclude con il Capitolo 4, dove estendiamo la condizione del primo ordine per il problema dell'investimento irreversibile con risorse limitate, considerando impatto sul mercato. Il risultato è dimostrato per il caso particolare in cui esiste un'unica azienda, il processo di shock segue un processo di Ornstein-Uhlenbeck e il funzionale di utilità è lineare sia nella dinamica controllata che nel controllo.