Alcuni problemi asintotici per equazioni di Hamilton-Jacobi-Bellman e applicazioni all'ottimizzazione globale

The thesis deals with control theory and related topics both in deterministic and stochastic framework, with an emphasis on the analytical aspects and Hamilton-Jacobi equations. It is divided into four chapters. The first chapter deals with periodic homogenization and singular perturbations in deterministic control problems. The main results concern the convergence and characterization of the limit value function and the underlying optimal trajectories, using relaxed control limits. The second chapter is motivated by a recent algorithm in the context of Deep Learning, called "Deep relaxation of Stochastic Gradient Descent", and concerns singular perturbations for stochastic control problems where the new difficulty with respect to the existing literature lies in the unboundeness of the data. The asymptotic behaviors in this context were obtained after developing new probabilistic methods, together with an adaptation of the viscosity instruments to problems with unbounded data. Then the results were applied to the previously mentioned algorithm and to its extension which also involves the optimal control of the so-called learning-rate parameter. The third chapter is devoted to global optimization. It aims to construct a dynamic system that asymptotically reaches the global minimum of a given function. To do this, ideas from weak KAM theory and both deterministic and stochastic control problems are used. The main tools to prove convergence are occupational (random) measures and the asymptotic behavior of the solutions of Hamilton-Jacobi equations. The last chapter provides a new method with new results for the solvability of the ergodic equations of Hamilton-Jacobi-Bellman in the viscous case with unbounded and merely measurable ingredients. The latter appears in various asymptotic problems present in the literature and among those addressed in the previous chapters. The results also extend to ergodic Mean-Field Games which are studied in the same context.

La tesi tratta la teoria del controllo e argomenti correlati, sia in ambito deterministico che stocastico, con enfasi sugli aspetti analitici e sulle equazioni di Hamilton-Jacobi. È diviso in quattro capitoli. Il primo capitolo tratta dell'omogeneizzazione periodica e delle perturbazioni singolari in problemi di controllo deterministici. I risultati principali riguardano la convergenza e la caratterizzazione della funzione valore limite e delle traiettorie ottimali sottostanti, utilizzando limiti di controlli rilassati. Il secondo capitolo è motivato da un recente algoritmo nel contesto del Deep Learning, denominato "Deep relaxation of Stochastic Gradient Descent", e riguarda perturbazioni singolari per problemi di controllo stocastico dove la nuova difficoltà rispetto alla letteratura esistente sta nell'illimitatezza dei dati. I comportamenti asintotici in questo contesto sono stati ottenuti dopo aver sviluppato nuovi metodi di tipo probabilistico, insieme ad un adattamento degli strumenti di viscosità a problemi con dati illimitati. Quindi i risultati sono stati applicati all'algoritmo precedentemente menzionato e ad una sua estensione che coinvolge anche il controllo ottimo del cosiddetto parametro learning-rate. Il terzo capitolo è dedicato all'ottimizzazione globale. Mira a costruire un sistema dinamico che raggiunga asintoticamente il minimo globale di una data funzione. Per fare ciò vengono usate idee della teoria KAM debole e problemi di controllo sia deterministico che stocastico. I principali strumenti per dimostrare la convergenza sono misure occupazionali (aleatorie) e il comportamento asintotico delle soluzioni di equazioni di Hamilton-Jacobi. L'ultimo capitolo fornisce un nuovo metodo con nuovi risultati per la risolubilità delle equazioni ergodiche di Hamilton-Jacobi-Bellman nel caso viscoso con ingredienti illimitati e meramente misurabili. Quest'ultimo compare in vari problemi asintotici presenti in letteratura e tra quelli affrontati nei capitoli precedenti. I risultati si estendono anche ai giochi a campo medio di tipo ergodico che sono studiati nello stesso contesto.