Modeling and computation of cracking in multiphase porous media with the phase-field approach

The development of mathematical and numerical models for the study of the problem of fracture in porous media is motivated by several real-world applications. In particular, the phase-field approach to fracture, based on the regularization of the variational formulation of the Griffith's theory, seems to be one of the most promising, due to its ability to model complicated fracture processes, such as nucleation and branching, and preserve the continuity of the displacement field. The majority of the phase-field models for fracture in porous media present in the literature are mainly oriented to the study the problem of fracture in saturated porous media. Anyway, certain phenomena, such as the cracking of clayey soils during a desiccation process, suggest the importance of the extension of these models to a partially saturated framework, in which also the flow of the gaseous phase can influence the mechanical behavior of the porous medium, and thus the process of formation and evolution of fractures. Abstract The aim of this work is to develop a finite element model for the phase-field analysis of fracture in three-phase porous media, in which both the flux of the water and the flux of the dry air are taken into account. In the first part of the thesis particular attention is payed to the study of some numerical difficulties that such modeling implies, such as the errors in the evaluation of the mass conservation of the water and the occurrence of numerical locking when a volumetric-deviatoric energy split for the phase-field model is used. An original mass conservative formulation, which takes into account the deformability of the solid skeleton, and a new stabilized mixed finite element formulation for the phase-field model of fracture in saturated porous media have been proposed, and tested with different numerical applications. In the last part of the thesis the finite element discretization of the proposed three-phase model is derived and applied to the numerical simulation of two different desiccation problems, in order to to study the influence of the balance equation of the air in the development of fractures in the porous medium.

Lo sviluppo di modelli matematici e numerici per lo studio della frattura nei mezzi porosi è motivato da numerose applicazioni nel mondo reale. In particolare, lo studio della frattura con la tecnica del phase-filed, basata sulla regolarizzazione della formulazione variazionale della teoria di Griffith, sembra essere una delle più promettenti, grazie alla sua abilità di modellare fenomeni complessi, come la formazione e la ramificazione di fratture, a preservare la continuità del campo di spostamenti. La maggior parte dei modelli phase-field presenti in letteratura sono principalmente orientati allo studio della frattura in mezzi porosi saturi. D'altro canto, alcuni fenomeni, come la formazione di fratture in argille durante un processo di essicazione, indicano l'importanza di estendere questi modelli in condizione di parziale saturazione, tenendo in considerazione la possibile influenza del flusso della fase gassosa sul comportamento meccanico dello scheletro solido e, di conseguenza, sul processo di formazione e evoluzione della frattura. Lo scopo di questa tesi è la formulazione di un modello numerico agli elementi finiti per lo studio, con la tecnica del phase-field, della frattura in mezzi porosi trifase, in cui si considerino sia il flusso d'acqua che il flusso dell'aria all'interno del mezzo. Particolare attenzione è rivolta ad un approfondimento di alcune problematiche numeriche che tale modellazione comporta, come gli errori nella conservazione della massa della fase liquida e il locking numerico dovuto ad un eccesso di rigidezza volumetrica, quando lo split volumetrico-deviatorico dell'energia viene utilizzato nel modello phase-field. In particolare, vengono proposte e testate attraverso varie applicationi numeriche una nuova formulazione conservativa che tenga conto della deformabilità dello scheletro solido, e una nuova stabilizzazione per la formulazione mista del modello phase-field per la frattura in mezzi porosi saturi. Nell'ultima parte la discretizzazione agli elementi finiti del modello trifase proposto viene derivata, e applicata alla simulazione numerica di due problemi di essicazione, con l'obiettivo di studiare l'influenza dell'equazione di bilancio dell'aria sullo sviluppo di fratture nel mezzo poroso.