formation of dark matter haloes: models and simulations

At present, the best model for the Universe as a whole is given by the so called ``Hot Big Bang'', which describes an expanding universe in which the density and temperature of matter and radiation are followed in time. The value of the parameters characterizing the observed universe is summarized by the concordance $\Lambda$CDM model, where CDM stands for Cold Dark Matter (the main matter component), and $\Lambda$ is the cosmological constant (some kind of unknown energy, with an anti-gravitational effect). According to this model, the universe is spatially flat (i.e. the density parameter $\Omega$ equals one), and 75\% of its energy balance is assigned to dark energy, about 20\% to dark matter and about 5\% to ordinary (baryonic) matter; the expansion speed assumes a value $H_{0}=70.5$ Km/s/Mpc (the Hubble parameter). The present dissertation focuses on the distribution of dark matter into virialized structures, called dark matter haloes. According to structure formation theory, cosmic structures originates from the amplification of quantum fluctuations during an early stage of accelerated expansion (cosmic inflation); these perturbations grow by self-gravity until they collapse and originate virialized structures. In the linear regime (when fluctuations are small), this process is well understood by the Jeans' theory. The non linear regime is much harder to describe; erlier attempts assumed a simple spherical simmetry, where the collapse is driven only by the internal density (e.g. Peebles, 1980); more recently (White \& Silk 1979; Bond \& Myers 1996) this hypothesis has been relaxed, and a more complex model was proposed in which proto-structures are described by triaxial ellipsoids, governed by their internal density and shape. Using the results coming from the dynamical analysis of the spherical collapse, and exploiting the statistical ``excursion sets formalism'', it is possible to obtain analytical information about the mass distribution of dark matter haloes. In this approach, for each particle in the universe, the trajectory describing the density evolution of a sphere of matter built around that particle is modeled as a random walk as a function of the mass $M$ within that sphere. When a trajectory crosses some pre-defined threshold, one assumes that a virialized structure of mass $M$ has formed. By considering all the particles in the universe one obtains analytical forms for the global mass function, and for the progenitor and descendant mass functions. From these it is possible to calculate other quantities, like the (instantaneous and integrated) rates of creation and destruction of dark matter haloes. In the 1990's the ellipsoidal collapse was first tried in order to find a better match with numerical simulations. However, partly due to the analytical complexity of the model, until now one can still not find in the literature analytical forms for e.g. the descendant and merger rate distributions (see Table \ref{tab:scec}). The main goal of this work is to provide such expressions for a number of statistics related to the mass distributions of dark matter haloes, striving to obtain simple and accurate formulas. In order to do so, we start from the statistical considerations by Sheth, Mo e Tormen (2001), who introduced the dynamical effects of the ellipsoidal collapse into the excursion sets formalism just by modifying the shape of the density threshold. Sheth and Tormen (2002) further suggested an new expression for the ellipsoidal global mass function, using a Taylor expansion series for the barrier: this expression allows one to also derive analytical formulas for the conditional mass functions. We obtain a set of models changing the order of this Taylor expansion, and considering the normalization of the distribution as a free parameter; we then compare these equations with the results of the cosmological simulation Gif2 (Gao et al. 2004) and, in some cases, with the Millennium Simulation (Springel et al. 2005). For the global and conditional mass functions the match between models and simulations is estimated using a $\chi ^2$-method. For the merger rates we compare the results qualitatively, whereas for the creation rates we only derived analytical results. We especially focus on the cases providing the simplest analytical expressions: the zero-order and the infinite-orders Taylor series. In the last part of the dissertation we propose a new statistical method that can overcome two inconvenients of $\chi ^2$-methods: (i) data binning and (ii) neglect of field particles (dust) in simulations. Concerning point (i), different bin-sizes can lead to small differences in the $\chi ^2$-results. As for point (ii), particles that are not bound to haloes are usually considered only for computing the normalization. By using a maximum likelihood analysis we can treat unbinned data, as well as take into account dust in the determination of the best parameters of the mass function. Our tests are performed by comparing a two-parameter mass function with results of Monte Carlo simulations. Our work naturally settles within the systematic search of analytical expressions associated to the ellipsoidal collapse of dark matter haloes. Since haloes are thought to be the sites where baryons can condense and form stars, galaxies and other luminous objects, the expression we derive can be used for a number of applications, ranging from unveiling the nature of dark matter through self-annihilation, to the understanding of the mechanisms leading to galaxy formation. Furthermore, the description of galaxy evolution requires knowledge on the hosting haloes: semi-analytical models of galaxy formation depend on the global mass function of the dark matter haloes, and the corrisponding merger-trees are based on the progenitor mass functions. The rates of creation and destruction are useful to compute the abundances of objects like Active Galactic Nuclei (AGNs) and Super Massive Black Holes (SMBHs). Many other examples can be found in the literature for the use of dark matter distributions in studies of galaxy formation. The structure of the dissertation is as follows: {\bf Chapters 1} justifies the need of dark matter. In {\bf Chapters 2} we present the concordance cosmological model, its geometry and thermal history. We also introduce the linear and non-linear models for the formation of dark matter haloes. {\bf Chapter 3} describes the excursion sets approach in the framework of the spherical collapse. The extension of this method to the ellipsoidal collapse is given in {\bf Chapter 4}, where the firsts analytical results are derived. In {\bf Chapter 5} we compare our analytical predictions to a number of results from numerical simulations. {\bf Chapter 6} is devoted to the new maximum likelihood tests with unbinned data and dust particles. We finally draw our {\bf Conclusions}, followed by one {\bf Appendix} where the numerical simulations are described.

La miglior descrizione dell'Universo, di cui si dispone al momento, è il modello del ``Big Bang Caldo'', che contempla un universo in espansione nel quale viene seguita l'evoluzione temporale della densità e della temperatura della materia e della radiazione. I parametri che caratterizzano l'Universo osservato sono riassunti in un modello chiamato $\Lambda$CDM di concordanza: CDM sta per Cold Dark Matter (la componente dominante della materia), e $\Lambda$ è la costante cosmologica (una sorta di energia oscura, con effetto anti-gravitazionale). Secondo questo modello, l'universo è spazialmente piatto (cioè il parametro di densità $\Omega$ è uguale a uno), e il $75\%$ del suo bilancio energetico è assegnato all'energia oscura, circa il $20\%$ alla materia oscura e circa il $5\%$ alla materia ordinaria (barioni); la velocità dell'espansione assume il valore $70.5$ Km/s/Mpc (parametro di Hubble). Questa tesi si sofferma sulla distribuzione della materia oscura in strutture virializzate, chiamate aloni di materia oscura. Secondo la teoria di formazione delle strutture, le strutture cosmiche hanno origine dall'amplificazione di fluttuazione quantistiche durante un periodo iniziale di espansione accelerata (inflazione cosmica); queste perturbazioni crescono per effetto dell'autogravità fino al collasso, creando delle strutture virializzate. Durante il regime lineare (quando le fluttuazioni sono piccole), questo processo è ben descritto dalla teoria di Jeans. Il regime non lineare è molto più difficile da descrivere; i primi tentativi assumono una simmetria sferica, per la quale il collasso è descritto solo dalla densità interna (es. Peebles, 1980); più recentemente (White \& Silk 1979; Bond \& Myers 1996) questa ipotesi è stata rilassata, ed è stato proposto un modello più complesso nel quale le protostrutture sono descritte da ellissoidi triassiali, regolati dalla loro densità interna e dalla loro forma. Utilizzando i risultati ottenuti dall'analisi dinamica del collasso sferico e sfruttando il formalismo statistico degli ``excursion set'', è possibile ottenere informazioni analitiche in merito alla distribuzione di massa degli aloni di materia oscura. In questo approccio, per ogni particella nell'universo, la traiettoria che descrive l'evoluzione della densità della sfera di materia costruita attorno a quella particella viene modellata come un cammino browniano come funzione della massa $M$ all'interno della sfera. Quando una traiettoria interseca una pre-definita soglia, si assume che venga a formarsi una struttura virializzata di massa $M$. Considerando tutte le particelle dell'universo, si ottengono forme analitiche per la funzione di massa globale, e per le funzioni di massa dei progenitori e dei figli. Da queste, è possibile calcolare altre quantità, come i tassi di creazione e distruzione (istantanei e integrati). Negli anni '90, il collasso ellissoidale è stato utilizzato per trovare un miglior accordo con le simulazioni numeriche. Tuttavia, in parte a causa della complessità analitica del modello, fino ad ora non è stato ancora possibile trovare in letteratura forme analitiche per esempio per la funzione dei figli o per i tassi di distruzione (vedi Tabella \ref{tab:scec}). l'obiettivo principale di questo lavoro è di fornire tali espressioni per una serie di funzioni legate alle distribuzione di massa degli aloni di materia oscura, aspirando ad ottenere delle formule semplici ed accurate. Per farlo, siamo partiti dalle considerazioni statistiche di Sheth, Mo e Tormen (2001) che introducono gli effetti dinamici del collasso ellissoidale nel formalismo excursion sets, modificando la forma della soglia di densità. Sheth e Tormen (2002), inoltre, propongono una nuova espressione per la funzione di massa globale ellissoidale, usando uno sviluppo in serie di Taylor per la barriera: questa espressione permette di derivare forme analitiche anche per le funzioni di massa condizionali. Abbiamo ottenuto un set di modelli cambiando l'ordine di questo sviluppo di Taylo, e considerando la normalizzazione delle distribuzioni come un parametro libero; abbiamo poi confrontato queste equazioni con i risultati della simulazione cosmologica Gif2 (Gao et al. 2004) e, in alcuni casi, con la Millennium Simulation (Springel et al. 2005). Per le funzioni di massa globale e condizionali, l'accordo tra modelli e simulazioni è stimato usando un metodo $\chi ^2$. Per i merger rates abbiamo confronti qualitativi, mentre per i tassi di creazione abbiamo derivato le sole equazioni analitiche. Ci siamo soffermati specialmente sui casi che forniscono le espressioni analiticamente più semplici: le serie di Taylor con zero ordini e con infiniti ordini. Nell'ultima parte della tesi, proponiamo un nuovo metodo statistico che può scartare gli inconvenienti dei metodi $\chi ^2$: (i) la divisione in intervalli dei dati e (ii) il trascurare le particelle di campo (polvere) delle simulazioni. Per quanto riguarda il punto (i), differenti ampiezze degli internalli di massa possono portare a piccole differenze nei risultati del $\chi^2$. Il punto (ii) si riferisce al fatto che le particelle che non sono legate in aloni sono di solito considerate solo per il calcolo della normalizzazione. Usando un'analisi di massima verosimiglianza, possiamo trattare dati non raggruppati in intervalli e considerare la polvere nella determinazione dei parametri migliori per la funzione di massa. I nostri tests sono condotti confrontando una funzione di massa a due parametri con i risultati di simulazioni Monte Carlo. Il nostro lavoro si inserisce naturalmente nella ricerca sistematica delle espressioni analitiche associate al collasso ellissoidale degli aloni di materia oscura. Poichè si pensa che gli aloni siano i siti ove i barioni possono concentrarsi e formare stelle, galassie ed altri oggetti luminosi, le espressioni che otteniamo possono essere usate in varie applicazioni, dallo svelare la natura della materia oscura attraverso l'auto annichilazione, fino alla comprensione dei meccanismi che portano alla formazione galattica. Inoltre, la descrizione dell'evoluzione galattica richiede la conoscenza dell'alone correlato: i modelli semi-analitici di formazione galattica dipendono dalla funzione di massa globale degli aloni di materia oscura, e i corrispondenti merger-trees sono basati sulle funzioni di massa dei progenitori. I tassi di creazione e distruzione sono utili per calcolare le abbondanze di oggetti come Nuclei Galattici Attivi (AGN) e Buchi Neri Super Massicci (SMBH). Altri esempi dell'utilizzo delle distribuzioni della materia oscura in studi di formazione galattica si possono trovare copiosi in letteratura.\\ L'elaborato si articola in questo modo: il {\bf Capitoli 1} giustifica la necessità della materia oscura. Nel {\bf Capitolo 2} presentiamo il modello cosmologico di concordanza, la sua geometria e la storia termica. Inoltre, introduciamo i modelli, lineare e non lineare, di formazione degli aloni di materia oscura. Il {\bf Capitolo 3} descrive l'approccio degli excursion sets nel contesto del collasso sferico. L'estensione di questo metodo al collasso ellissoidale è proposto nel {\bf Capitolo 4}, ove vengono esposti i primi risultati analitici. Nel {\bf Capitolo 5} confrontiamo le nostre predizioni analitiche con i risultati di due simulazioni numeriche. Il {\bf Capitolo 6} è dedicato all'esposizione dei test di un nuovo metodo di massima verosimiglianza con l'utilizzo di dati non raggruppati in intervalli e con le particelle di polvere. Infine tracciamo le nostre {\bf Conclusioni}, seguite da un'{\bf Appendice} ove sono descritte le simulazioni numeriche.