McKean-Vlasov limits, propagation of chaos and long-time behavior of some mean field interacting particle systems

In this thesis we study mean field interacting particle systems and their McKean-Vlasov limiting processes, in particular we focus on three different interaction mechanisms, mainly emerging from biological modelling. The first type of interaction is given by the so called simultaneous jumps. We consider a system of interacting jump-diffusion processes that interact by means of the discontinuous component: each particle performs a main jump and it simultaneously induces in all the other particles a simultaneous jump whose amplitude is rescaled with the size of the system. This peculiar interaction is motivated by recent neuroscience models and here we depict a general framework for this type of processes. We focus on the well-posedness of the McKean-Vlasov limits of these particle systems under different assumptions on the coefficients and we prove a pathwise propagation of chaos result. The second interaction we consider is an asymmetric one. We describe a system of biased random walks on the positive integers, reflected at zero, where each particle may perform a leftward jump with a rate proportional to the fraction of particles which are strictly at its left. We study the critical interaction strength able to ensure ergodicity to this system, that would be transient in absence of interaction. We compare this model with existing models of diffusions interacting through their CDF and we highlight their differences, mainly caused by the presence of clusters of particles in the discrete model. The third interaction we account for is based on a dynamical version of the generalized Curie-Weiss model. We modify a Langevin dynamics for this model with a dissipative evolution of the interaction component, breaking the reversibility of the system. We prove that, in the mean field limit, this gives rise to stable limit cycles, explaining self-sustained periodic behaviors. In particular, we build a flexible model in which a suitable change in the interaction function can result in a system which, in certain regimes of parameters, displays coexistence of stable periodic orbits.

L’argomento di questa tesi sono i sistemi di particelle con interazione a campo medio e i processi nonlineari ottenuti come limiti di essi. Il lavoro è suddiviso in tre parti, in cui vengono analizzati modelli caratterizzati da tre diversi meccanismi di interazione. Nella prima parte ci occupiamo di un’interazione tramite salti simultanei, che prende spunto da alcuni modelli apparsi recentemente in neuroscienze, dove gli autori trattano sistemi di neuroni in comunicazione l’uno con l’altro. Con l’obiettivo di generalizzare questo tipo di modelli consideriamo un sistema di diffusioni con salti che interagiscono tra loro attraverso la componente discontinua: ogni processo compie un salto principale con una certa frequenza e, contemporaneamente, forza tutte le altre particelle a compiere anch’esse un salto che però è detto salto collaterale, in quanto viene riscalato rispetto alla taglia del sistema. Considerando diverse ipotesi sui coefficienti, ci concentriamo sulla propagazione del caos traiettoriale e sulla dimostrazione di esistenza e unicità delle soluzioni per la corrispondente SDE nonlineare. Nella seconda parte della tesi ci occupiamo di un’interazione di tipo asimmetrico. Definiamo un sistema dove ogni particella si muove secondo una passeggiata aleatoria sui naturali, riflessa in zero e con un eventuale drift verso destra. In aggiunte c’è un’interazione asimmetrica, nel senso che ogni particella viene spinta a compiere movimenti verso sinistra sotto l’influenza solo delle particelle che si trovano alla sua sinistra. Ci chiediamo come questo sistema, che in assenza di interazione è transiente, possa diventare ergodico a seconda della forza dell’interazione e studiamo i parametri critici sia nel sistema ad N particelle che nel suo limite termodinamico. In particolare sfruttiamo risultati esistenti su diffusioni che interagiscono attraverso la funzione cumulativa empirica per evidenziare le differenze date dalla dinamica discreta. Nella terza parte ci concentri- amo su una dinamica di Langevin per il modello di Curie-Weiss generalizzato alla quale applichiamo un termine di dissipazione. Questo approccio è stato precedentemente usato per rompere la reversibilità nel modello di Curie-Weiss classico ed è stato dimostrato che, in quel caso, il sistema limite ammette una soluzione periodica. Il nostro lavoro conferma l’emergenza di comportamenti periodici anche nel caso del Curie-Weiss generalizzato. In particolare, possiamo dimostrare che un’accurata scelta della funzione di interazione nel modello di partenza è tale da dare luogo ad un sistema limite in cui coesistono molteplici soluzioni periodiche stabili.