Factorizations of invertible matrices into products of elementary matrices and of singular matrices into products of idempotent matrices

In this thesis we consider two classical problems, originated respectively by a 1966 paper by P. Cohn and by a 1967 one by J.A. Erdos, concerning the factorization of square matrices with entries in an arbitrary domain: we want to characterize integral domains R satisfying property (GEn), every n x n invertible matrix over R is a product of elementary matrices; and those satisfying property (IDn), every n x n singular matrix over R is a product of idempotent matrices. There is a deep relationship between properties (GEn) and (IDn). An important result by Ruitenburg (1993) shows that they are equivalent for Bézout domains (i.e. integral domains whose finitely generated ideals are principal). Moreover, if R is a Bézout domain, then R satisfies (GEn) for any n≥2 if and only if it satisfies (GE2) if and only if it satisfies (ID2) if and only if it satisfies (IDn) for any n≥2. Thus, in this case, it is enough to consider matrices of dimension 2. The thesis investigates two conjectures, as natural as hard to prove in general. The first one, due to Salce and Zanardo (2014) and suggested by important results on number fields, is the following: "a principal ideal domain R satisfies the property (ID2) if and only if it is Euclidean". In support of this conjecture, in this thesis we prove that it is valid in two important classes of non-Euclidean PID's: (i) the coordinate rings of special non-singular algebraic curves defined over a perfect field k, among them the coordinate rings of conics without k-rational points and the coordinate rings of elliptic curves having the point at infinity as unique k-rational point; (ii) the class of non-Euclidean PID's constructed by D.D. Anderson in a 1988 paper. The cases (i) and (ii) require different proofs, based on delicate technical lemmas. From these results we get that the conjecture seems to be verified by every non-Euclidean PID appeared in the literature. The second conjecture studied in this thesis is related to the factorization of singular matrices into idempotent ones: "an integral domain R verifying (GE2) must be a Bézout domain". Unique factorization domains, projective-free domains and PRINC domains, introduced by Salce and Zanardo in 2014, satisfy the conjecture. In the thesis we exhibit an example of PRINC domain which is neither UFD nor projective-free. We also prove that if an integral domain R satisfies the property (ID2), then it is a Prüfer domain (i.e. finitely generated ideals of R are invertible); thus in order to study the second conjecture we can confine ourselves to the class of Prüfer domains. Moreover, we show that if any integral domain R satisfies property (ID2), then it satisfies also property (GE2). Using this result and properly applying some results by Cohn (1996), in support of the conjecture we find a class of coordinate rings of smooth algebraic curves that are not PID's and that do not satisfy property (ID2); moreover we prove that also the ring Int(Z) of integer-valued polynomials does not verify this property.

In questa tesi si considerano due problemi classici, originati rispettivamente da un lavoro di P. Cohn del 1966 e da uno di J.A. Erdos del 1967, inerenti la fattorizzazione di matrici quadrate a coefficienti in un arbitrario dominio di integrità: caratterizzare i domini di integrità R che soddisfano la proprietà (GEn), ogni matrice invertibile n x n a valori in R è prodotto di matrici elementari; e quelli che soddisfano la proprietà (IDn), ogni matrice singolare n x n a valori in R è prodotto di matrici idempotenti. Vi è una stretta correlazione tra le proprietà (GEn) e (IDn). Un importante risultato di Ruitenburg (1993) mostra che esse sono equivalenti nei domini di Bézout (cioè domini integrali in cui ogni ideale finitamente generato è principale). Inoltre, se R è un dominio di Bézout, allora R soddisfa (GEn) per ogni n≥2 se e solo se vale la (GE2), se e solo se vale la (ID2), se e solo se verifica la (IDn) per ogni n≥2. In questo caso è quindi sufficiente considerare le matrici di dimensione 2. La trattazione si sviluppa attorno allo studio di due congetture, tanto naturali quanto difficili da dimostrare in generale. La prima, proposta da Salce e Zanardo (2014) e ispirata da importanti risultati sui campi di numeri algebrici, è la seguente: "un dominio a ideali principali R soddisfa la proprieta (GE2) se e solo se è Euclideo". A supporto di tale congettura, nella tesi viene dimostrata la sua validità in due importanti classi di PID non Euclidei: (i) gli anelli delle coordinate di speciali curve algebriche non singolari definite su un campo perfetto k, tra cui l'anello delle coordinate delle coniche prive di punti razionali su k e quello delle curve ellittiche aventi il punto all'infinito come unico punto razionale; (ii) i PID non Euclidei costruiti da D.D. Anderson in un lavoro del 1988. I casi (i) e (ii) richiedono differenti dimostrazioni, basate su delicati lemmi tecnici. Da tali risultati si evince che la congettura sembra essere verificata da tutti i PID non Euclidei apparsi in letteratura. La seconda congettura studiata nella tesi è legata alla fattorizzazione di matrici singolari in idempotenti: "un dominio R avente la proprietà (ID2) deve essere necessariamente un dominio di Bézout". I domini a fattorizzazione unica, quelli projective-free, e i domini PRINC, introdotti da Salce e Zanardo nel 2014, soddisfano la congettura. Nella tesi si è trovato un esempio di dominio PRINC che non è né UFD né projective-free. Si è inoltre provato che se un dominio R soddisfa la proprietà (ID2), allora R è un dominio di Prüfer (i.e. gli ideali finitamente generati sono invertibili); la seconda congettura può essere quindi studiata limitandosi alla classe dei domini di Prüfer. Si è dimostrato che se un qualunque dominino di integrità R verifica la proprietà (ID2), allora verifica anche la (GE2). Utilizzando tale risultato e applicando opportunamente differenti risultati di Cohn (1966), a sostegno della congettura si è trovata una classe di anelli coordinati di curve non singolari che sono domini di Dedekind non PID che non soddisfano la proprietà (ID2); si è inoltre provato che neanche l'anello Int(Z) dei polinomi a valori interi verifica tale proprietà.