A nonparametric permutation approach to statistical shape analysis

The statistical community has shown an increased interest in shape analysis in the last decade, in particular with reference to the development of robust inferential statistical methods. In this Ph.D. thesis we present an extension of NonParametric Combination (NPC) methodology (Pesarin, 2001) to shape analysis. At first we review inferential methods known in the shape analysis literature, highlighting some drawbacks of using Hotelling's T^2 test statistic. Then, focussing on the two independent sample case, through an exhaustive comparative simulation study, we evaluate the behaviour of traditional tests along with nonparametric permutation tests using also Multiple Aspect (MA) procedures and domain combinations. The case of heterogeneous and dependent variation at each landmark is also investigated, along with the effects of superimposition on the power of NPC tests. Permutation tests have been evaluated also in the particular case in which the number of variables is larger than the cardinality of permutation sample space. We have performed a simulation study to evaluate the power of multivariate NPC tests, showing that the power for the proposed tests increases when increasing the number of the processed variables provided that the noncentrality parameter increases, even when the number of covariates is larger than the permutation sample space. These preliminary results allowed us to extend the notion of finite-sample consistency for permutation tests combination-based to the shape analysis field. Sufficient conditions are given in order that the rejection rate converges to one, for fixed sample sizes at any attainable alpha-value, when the number of variables diverges, provided that the noncentrality induced by test statistics also diverges. On the basis of these findings, we emphasize that the proposed tests provide efficient solutions to multivariate small sample problems, like those encountered in the shape analysis field. Along with simulation studies, we present two applications to real data sets concerning Mediterranean monk seal skulls and aortic valve morphology.

Nell'ultimo decennio la comunità statistica ha mostrato un crescente interesse per i problemi di shape analysis, con particolare riferimento allo sviluppo di tecniche inferenziali robuste. In questa tesi di dottorato presentiamo un'estensione della metodologia NPC per la combinazione non parametrica di test di permutazione dipendenti (Pesarin, 2001) nell'ambito della shape analysis. Inizialmente si introduce una revisione dei metodi inferenziali noti in letteratura, evidenziando alcune problematiche legate all'uso della statistica test T^2 di Hotelling. Focalizzandoci poi sul caso di due campioni indipendenti, tramite un esauriente studio di simulazione, abbiamo confrontato il comportamento, in termini di potenza, dei test parametrici tradizionali con quello dei test non parametrici proposti. Sono state utilizzate anche procedure di tipo multi aspetto (MA) e combinazioni per domini. E’ stato anche esaminato il caso in cui i landmark sono correlati tra loro. Inoltre è stato valutato l'impatto della superimposizione sulla potenza dei test NPC. I test di permutazione sono stati valutati in potenza e sotto H_0 nel caso in cui il numero di variabili processate è superiore alla cardinalità dello spazio di permutazione. Abbiamo inoltre effettuato uno studio di simulazione per valutare la potenza dei test multivariati NPC, evidenziando che la potenza di questi test cresce al crescere del numero di variabili processate, qualora apportino un aumento della non centralità, anche quando il numero di variabili è superiore alla cardinalità dello spazio di permutazione. Questi risultati preliminari ci hanno consentito di estendere la nozione di finite-sample consistency per i test NPC nell'ambito della shape analysis. Vengono fornite condizioni sufficienti tali per cui la potenza del test converge a uno, per ampiezze campionarie fissate ad ogni livello raggiungibile alpha, quando il numero di variabili diverge, posto che diverga anche la non centralità indotta dall'aumento del numero di variabili. Sulla base dei risultati ottenuti, possiamo affermare che i test NPC forniscono soluzioni efficienti per i problemi multivariati di shape analysis in presenza di bassa numerosità campionarie, problemi del resto frequenti nell'ambito della shape analysis. Oltre agli studi di simulazione, vengono presentati due casi studio, uno relativo allo studio della forma del cranio della foca monaca del Mediterraneo e l'altro relativo alla morfologia della valvola aortica.