Discontinuous mechanical problems studied with a Peridynamics-based approach

The classical theory of solid mechanics is rooted in the assumption of a continuous distribution of mass within a body. It employs partial differential equations (PDEs) with significant smoothness to obtain displacements and internal forces of the body. Although classical theory has been applied to wide range of engineering problems, PDEs of the classical theory cannot be applied directly on a discontinuity such as cracks. Peridynamics is considered to be an alternative and promising nonlocal theory of solid mechanics that, by replacing PDEs of classical theory with integral or integro-differential equations, attempts to unite the mathematical modelling of continuous media, cracks and particles within a single framework. Indeed, the equations of peridynamic are based on the direct interaction of material points over finite distances. Another concept, derived from the peridynamic approach to cope with engineering problems with discontinuities, is that of the peridynamic differential operator (PDDO). The PDDO uses the non-local interaction of the material points in a way similar to that of peridynamics. PDDO is capable to recast partial derivatives of a function through a nonlocal integral operator whose kernel is free of using any correction function. In this dissertation, application of peridaynamics and PDDO, to three different important engineering problems including fatigue fracture, thermo-mechanics and sloshing phenomena, is examined comprehensively. To cope with fatigue fracture problems, an algorithm has been developed in such a way that the increment of damage due to fatigue is added to that due to the static increment of the opening displacement. A one degree of freedom cylinder model has been used to carry out an efficient comparison of the computational performance of three fatigue degradation strategies. The three laws have been implemented in a code using bond based peridynamics (BBPD) to simulate fatigue crack propagation. Both the cylinder model and the bond base peridynamics code provide the same assessment of the three fatigue degradation strategies. To deal with thermo-mechanical problems, an effective way is proposed to use a variable grid size in a weakly coupled thermal shock peridynamic model. The proposed numerical method is equipped with stretch control criterion to transform the grid discretization adaptively in time. Hence, finer grid spacing is only applied in limited zones where it is required. This method is capable of predicting complex crack patterns in the model. By introducing fine grid discretization over the boundaries of the model the surface (softening) effect can be reduced. The accuracy and performance of the model are examined through problems such as thermo-elastic and thermal-shock induced fracture in ceramics. Finally to investigate sloshing phenomena, the PDDO has been applied to the solution of problems of liquid sloshing in 2D and 3D tanks with potential flow theory and Lagrangian description. Moreover, liquid sloshing in rectangular tanks containing horizontal and vertical baffles are investigated to examine the robustness and accuracy of PDDO. With respect to other approaches such as meshless local Petrov-Galerkin (MLPG), volume of fluid (VOF) and and local polynomial collocation methods the examples are solved with a coarser grid of nodes. Using this new approach, one is able to obtain results with a high accuracy and low computational cost.

La teoria classica della meccanica dei solidi, formulata tramite equazioni differenziali alle derivate parziali (PDEs), è basata sull'assunzione di una distribuzione continua di massa all'interno di un corpo. Sebbene la teoria classica sia stata applicata ad un'ampia gamma di problemi ingegneristici, le equazioni differenziali su cui è basata non possono essere risolte agevolmente in presenza di una discontinuità come, ad es., una cricca. La peridinamica è considerata un'alternativa ed una promettente teoria non-locale della meccanica dei solidi che, rimpiazzando le equazioni differenziali con equazioni integrali o integro-differenziali, unisce in un’unica formulazione la modellazione dei solidi continui e quella di discontinuità (ad es. cricche). Le equazioni della peridinamica sono basate sull'interazione diretta di punti materiali all’interno di una regione di influenza di dimensioni finite. Un altro concetto, derivato dall'approccio peridinamico è l'operatore differenziale peridinamico (PDDO). Questo operatore è in grado di valutare le derivate parziali di una generica funzione per mezzo di una opportuna funzione integrale non-locale. In questa tesi viene esaminata l'applicazione della peridinamica e del PDDO a tre problemi ingegneristici: la frattura per fatica, i fenomeni termo-meccanici ed i fenomeni di sloshing. Per simulare i problemi di frattura per fatica, è stato sviluppato un algoritmo che valuta sia l'incremento del danno per fatica, legato al numero dei cicli di carico, che l’incremento del danno statico, legato all’aumento dell’apertura della cricca. Sono state proposte tre leggi di danneggiamento per fatica le cui prestazioni computazionali sono state valutate per mezzo di un modello ad un grado di libertà. Inoltre le stesse tre leggi sono state implementate in un codice basato sulla formulazione peridinamica di tipo bond-based, per simulare la propagazione delle cricche per fatica. Sia il modello ad un grado di libertà che il codice scritto utilizzando la formulazione peridinamica individuano la stessa legge di danneggiamento per fatica (fra le 3 studiate) quale più efficiente ed accurata da un punto di vista numerico. Per affrontare problemi di natura termo-meccanica, viene proposto un approccio alternativo che utilizza una griglia di nodi di dimensione variabile all’interno di un modello peridinamico. Il modello numerico proposto modifica in maniera adattiva la dimensione di griglia per garantire una elevata accuratezza dei risultati ed un minore sforzo computazionale: la griglia più raffinata è usata soltanto nelle aree in cui le cricche si propagano. L’approccio proposto è stato utilizzato in un primo momento per lo studio di fenomeni termo-elastici quindi per l’analisi di fenomeni di propagazione di cricche a seguito di sollecitazioni termo-meccaniche. Infine, il PDDO è stato impiegato per investigare i fenomeni di sloshing di liquidi in serbatoi bi-dimensionali e tri-dimensionali studiati con la teoria del flusso a potenziale e la descrizione Lagrangiana. Rispetto ad altri approcci, come ad esempio il metodo locale meshless Petrov-Galarkin, il metodo dei volumi di fluido ed il metodo locale di collocazione polinomiale, l’approccio PDDO si rivela particolarmente efficace dato che fornisce risultati di accuratezza analoga (rispetto ai risultati ottenuti con gli altri approcci) impiegando un numero minore di nodi per descrivere il sistema.