Constrained approximation of spectral densities and spectral estimation

In this work, we consider the problem of finding, among the solutions of a generalized moment problem a la Byrnes/Georgiou/Lindquist, the best approximation to a given spectrum, with respect to different notions of distance. After an in-depth discussion of the moment problem in question, we first review the scalar spectrum approximation in the Kullback-Leibler metric. Then we pose and solve a similar problem with respect to the Hellinger distance. We show that the latter distance admits a nice extension to the case when multivariate spectra come into play, and we solve the resulting, generalized approximation problem. Finally, we present in detail a matricial version of the Newton algorithm designed to solve the corresponding dual problem, that eventually leads to an useful solution, and provide an application to multivariate spectrum estimation, testing it against well-known identification methods.

In questo lavoro si considera il problema di trovare, fra le soluzioni di un problema ai momenti generalizzato (tipo Byrnes/Georgiou/Lindquist), la migliore approssimazione di uno spettro, rispetto a diversi tipi di metrica. Dopo una discussione approfondita del problema in questione, dapprima si riassume il problema di approssimazione scalare nella metrica di Kullback-Leibler. Quindi, viene posto e risolto un problema simile rispetto alla distanza di Hellinger. Si dimostra che quest'ultima ammette un'elegante estensione al caso di spettri multivariati, e se ne fornisce una soluzione del relativo problema di approssimazione. Infine, viene presentata in dettaglio una versione `matriciale' dell'algoritmo di Newton progettata per risolvere il corrispondente problema duale, che conduce a una soluzione utilizzabile, e ne viene mostrata un'applicazione alla stima di spettri multivariati e un confronto con metodi di identificazione ben noti.