Sharp and Quantitative Isoperimetric Inequalities in Carnot-Carathéodory spaces

This thesis is dedicated to the study of isoperimetric inequalities in some Carnot-Carathéodory spaces, related to the Heisenberg geometry. The thesis is organized as follows. Chapter 1 is concerned with some preliminaries: we consider Carnot-Carathéodory spaces, and we define Grushin spaces and H-type groups. Then, we introduce the notion of X-perimeter, showing the validity of a non-sharp isoperimetric inequality. In Chapter 2, we study the sharp isoperimetric inequality in H-type groups and Grushin spaces. Several techniques are needed here, such as representation formulas for the X-perimeter, a concentration-compactness type argument, and non-classical rearrangements. In Chapter 3, we prove quantitative isoperimetric inequalities in the Heisenberg group H^n and in some Grushin spaces. To this purpose, we use a technique, known in the Calculus of Variations as subcalibration, in a suitable class of sets of finite X-perimeter. Finally, in Chapter 4, we address the problem of studying quantitative isoperimetric inequalities in the Grushin plane in a class of symmetric sets, starting from Euclidean techniques. Crucial differences arise from the lack of invariance under translation of the X-perimeter and lead us to study a variational problem, which has connections with the study of soap bubbles in the Grushin plane.

La presente tesi è dedicata allo studio di disuguaglianze isoperimetriche in alcuni spazi di Carnot-Caratheodory, connessi con la geometria dei gruppi di Heisenberg. La tesi è organizzata come segue. Il Capitolo 1 è introduttivo: consideriamo gli spazi di Carnot-Caratheodory e definiamo gli spazi di Grushin e i gruppi di tipo H. Introduciamo quindi la nozione di X-perimetro, mostrando la validità di una disuguaglianza isoperimetrica non ottimale. Nel Capitolo 2 studiamo la disuguaglianza isoperimetrica ottimale in gruppi di tipo H e spazi di Grushin. Sono necessarie a questo scopo diverse tecniche, tra cui formule di rappresentazione per l'X-perimetro, un argomento di tipo concentrazione-compattezza e riarrangiamenti non standard. Nel Capitolo 3 dimostriamo una disuguaglianza isoperimetrica quantitativa nel gruppo di Heisenberg H^n e in alcuni spazi di Grushin. Per farlo usiamo una tecnica, nota nel Calcolo delle Variazioni come subcalibrazione, in una opportuna classe di insiemi di X-perimetro finito. Infine, nel Capitolo 4, consideriamo il problema dello studio della disuguaglianza isoperimetrica quantitativa nel piano di Grushin, in una classe di insiemi simmetrici, a partire da tecniche Euclidee. Si presentano alcune differenze sostanziali, dovute alla mancanza di invarianza per traslazioni dell'X-perimetro, e ci conducono allo studio di un problema variazionale, collegato allo studio delle bolle di sapone nel piano di Grushin.