On mass distribution and concentration phenomena for linear elliptic partial differential operators

In this thesis we study the dependence of the eigenvalues of elliptic partial differential operators upon mass density perturbations on open subsets of the N-dimensional euclidean space. We prove continuity and analyticity results for the eigenvalues of poly-harmonic operators and apply them to certain optimization problems. In order to prove analyticity, we use a general technique of P.D. Lamberti and M. Lanza de Cristoforis, and we obtain formulas for the Frechet differentials of the eigenvalues which are used to characterize critical mass densities under the constraint that the total mass is preserved. Then we state a sort of `maximum principle' in spectral optimization problems for elliptic operators subject to mass density perturbations. Moreover, we consider a special class of densities, namely densities which concentrate near the boundary of open subsets of the N-dimensional euclidean space. We study the asymptotic behavior of the eigenvalues of Neumann-type problems for the Laplace and the biharmonic operator. By adapting a general technique of J.M. Arrieta, we prove that the Neumann eigenvalues converge to the appropriate limiting Steklov eigenvalues. In this way, we formulate a genuine Steklov eigenvalue problem for the biharmonic operator. In the case of the Laplace operator we prove the validity of an asymptotic expansion of the Neumann eigenvalues and eigenfunctions and provide formulas for the first terms in the expansions. We adapt to our case asymptotic analysis techniques used by M.E. Perez and S.A. Nazarov to describe vibrating systems with masses concentrated at points or along curves. Moreover, we consider the problem of domain perturbations for the biharmonic Steklov problem obtained with this mass concentration procedure and prove that balls are critical domains for all the eigenvalues. Then we adapt the arguments of F. Brock and R. Weinstock to prove that the ball is actually a maximizer for the rst positive eigenvalue among bounded domains of given measure. Moreover, we provide a quantitative version of such an isoperimetric inequality, showing also that it is sharp.

In questa tesi studiamo la dipendenza degli autovalori di operatori differenziali alle derivate parziali di tipo ellittico da perturbazioni della densità di massa su aperti dello spazio euclideo N-dimensionale. In particolare, proviamo risultati di dipendenza continua e analitica degli autovalori di operatori poliarmonici e li applichiamo ad alcuni problemi di ottimizzazione. Per provare i risultati di analiticità, adoperiamo una tecnica generale sviluppata da P.D. Lamberti e M. Lanza de Cristoforis, ottenendo formule per i differenziali di Frechet degli autovalori che ci permettono di caratterizzare le densità critiche sotto il vincolo di massa fissata. Inoltre, enunciamo un `principio di massimo' per la classe di problemi di ottimizzazione considerata. In seguito, prendiamo in esame una famiglia particolare di densità di massa, ovvero densità che si concentrano al bordo degli aperti dove i problemi differenziali sono definiti. In questo caso, studiamo il comportamento asintotico degli autovalori e delle autofunzioni dei problemi di Neumann per l'operatore di Laplace e l'operatore biarmonico quando la massa si concentra al bordo. Proviamo in entrambi i casi, adattando una tecnica generale sviluppata da J.M. Arrieta, che gli autovalori e le autofunzioni del problema di Neumann convergono agli autovalori e alle autofunzioni di appropriati problemi limite di tipo Steklov. In particolare, il problema di tipo Steklov per l'operatore biarmonico così formulato viene introdotto per la prima volta in questa tesi, dove ne vengono poi studiate alcune proprietà. Nel caso dell'operatore di Laplace, proviamo la validità di un'espansione asintotica degli autovalori e delle autofunzioni del problema di Neumann fino al primo ordine ed otteniamo formule esplicite per i primi termini delle espansioni. Per ottenere questi risultati adattiamo al nostro problema delle tecniche di analisi asintotica utilizzate da M.E. Perez e S.A. Nazarov per lo studio di sistemi vibranti con masse concentrate in punti o lungo certe curve. Per quanto riguarda il problema di Steklov per l'operatore biarmonico, consideriamo anche il problema della dipendenza degli autovalori dal dominio. Utilizzando sempre la tecnica generale sviluppata da P.D. Lamberti e M. Lanza de Cristoforis, proviamo che le palle sono domini critici per tutti gli autovalori. Inoltre, adattando l'argomento di F. Brock e R.Weinstock per il problema di Steklov per l'operatore di Laplace, riusciamo a mostrare che la palla massimizza il primo autovalore positivo del problema di Steklov per l'operatore biarmonico tra tutti gli aperti limitati di misura fissata. Proviamo infine una versione quantitativa di questa disuguaglianza isoperimetrica, mostrando poi che l'esponente che compare nella disuguaglianza è ottimale.