Cyclically presented modules, automorphism-invariant modules and poor modules

In this thesis, we study three kinds of modules: cyclically presented modules in relation to factorization of elements in a noncommutative integral domain, automorphism-invariant modules and poor modules. First, we investigate projective covers of cyclically presented modules, characterizing the rings over which every cyclically presented module has a projective cover. Such rings R are Von Neumann regular modulo their Jacobson radical J (R) and their idempotents can be lifted modulo J (R) . Then we study the modules M R whose endomorphism ring E := (MR) is Von Neumann regular modulo J (E) and their idempotents lift modulo J (E). Next, the endomorphism rings of automorphism-invariant modules and their injective envelopes are investigated. We consider some cases where automorphism-invariant modules are quasi-injective and a connection between automorphism-invariant modules and boolean rings. Finally, we give some necessary conditions for rings over which every non-zero cyclic module is poor.

In questa tesi studiamo tre tipi di moduli: i moduli ciclicamente presentati in relazione alla fattorizzazione degli elementi di un dominio di integrità non commutativo, i moduli automorphism-invariant e i moduli poveri. Innanzitutto studiamo i ricoprimenti proiettivi dei moduli ciclicamente presentati, caratterizzando gli anelli sui quali ogni modulo ciclicamente presentato ha un ricoprimento proiettivo. Tali anelli R sono regolari alla Von Neumann modulo il loro radicale di Jacobson J (R) e i loro idempotenti si sollevano modulo J (R). Poi studiamo i moduli M R il cui anello degli endomorfismi E := (MR) è regolare alla Von Neumann modulo J (R) e i loro idempotenti si sollevano modulo J (R). Studiamo quindi gli anelli degli endomorfismi dei moduli automorphism-invariant e i loro inviluppi iniettivi, consideriamo alcuni casi in cui i moduli automorphism-invariant sono quasi-iniettivi ed una relazione tra i moduli automorphism-invariant e gli anelli booleani. Infine diamo alcune condizioni necessarie per gli anelli sui quali ogni modulo ciclico è povero.