Multivariate moment problems with applications to spectral estimation and physical layer security in wireless communications

This thesis focuses on generalized moment problems and their applications in the framework of information engineering. Its contribution is twofold. The first part of this dissertation proposes two new techniques for tackling multivariate spectral estimation, which is a key topic in system identification: Relative entropy rate estimation and multivariate circulant rational covariance extension. The former provides a very natural multivariate extension of a state-of-the-art approach for scalar parametric spectral estimation with a complexity bound, known as THREE (Tunable High-Resolution Estimator). It allows to take into account available a priori information on the spectral density. It exhibits high resolution features and it is robust in case of short data records. As for multivariate circulant rational covariance extension, it is a new convex optimization approach to spectral estimation for periodic multivariate processes, in which the computation of the solution can be tackled efficiently by means of Fast Fourier Transform. Numerical examples show that this procedure also provides an efficient tool for approximating regular covariance extension for multivariate processes. The second part of this dissertation considers the problem of deriving a universal performance bound for a message source authentication scheme based on channel estimates in a wireless fading scenario, where an attacker may have correlated observations available and possibly unbounded computational power. Under the assumption that the channels are represented by multivariate complex Gaussian variables, it is proved that the tightest bound corresponds to a forging strategy that produces a zero mean signal that is jointly Gaussian with the attacker observations. A characterization of their joint covariance matrix is derived through the solution of a system of two nonlinear matrix equations. Based upon this characterization, the thesis proposes an efficient iterative algorithm for its computation: The solution to the matricial system appears as fixed point of the iteration. Numerical examples suggest that this procedure is effective in assessing worst case channel authentication performance.

La tesi affronta il problema dei momenti generalizzato e le sue applicazioni nell'ambito dell’ingegneria dell’informazione. Nella prima parte della tesi sono proposte due nuove tecniche per affrontare efficientemente il problema della stima spettrale multivariata, che è molto rilevante nel contesto dell'identificazione dei sistemi dinamici: la stima basata sul tasso di entropia relativa tra processi e l’estensione di covarianza razionale per processi multivariati e periodici. La stima spettrale basata sul tasso di entropia relativa estende in modo molto naturale un approccio che rappresenta lo stato dell’arte per quanto riguarda la stima spettrale per processi scalari con un vincolo sulla massima complessità della soluzione, noto come THREE - Tunable High Resolution Estimator. La tecnica proposta permette all'utente di tenere in considerazione le informazioni sulla densità spettrale del processo eventualmente disponibili. Inoltre, essa permette di ottenere stime ad elevata risoluzione ed è robusta nel caso di ridotta numerosità campionaria dei dati. Per quanto riguarda l'estensione circolare di covarianza per processi multivariati, essa fornisce un nuovo approccio di ottimizzazione convessa alla stima spettrale per processi multivariati periodici, nel quale la soluzione può essere ricavata in modo efficiente ricorrendo agli algoritmi per il calcolo della trasformata di Fourier veloce (FFT - Fast Fourier Transform). Alcuni esempi numerici illustrano che questa procedura fornisce uno strumento efficace per approssimare l’estensione di covarianza per processi in generale non periodici. La seconda parte della tesi si occupa del problema dell'autenticazione a livello fisico della sorgente di un messaggio in un sistema di comunicazione wireless. Nello scenario considerato l'attaccante ha accesso ad alcune informazioni sul canale tra sorgente legittima e ricevitore e può avere potenza di calcolo illimitata. Sotto l'ipotesi che i canali d'interesse siano descritti da vettori gaussiani a valori complessi, si dimostra che la strategia d'attacco ottima corrisponde alla generazione di un segnale congiuntamente gaussiano con le osservazioni dell'attaccante. La distribuzione congiunta è caratterizzata mediante la soluzione di un sistema di equazioni matriciali non lineari, che può essere calcolata per mezzo di un algoritmo iterativo. Alcuni esempi numerici illustrano l'efficacia della procedura proposta nel valutare le performance al caso pessimo dello schema di autenticazione di canale.