Equivalences of additive categories

In the first part of the thesis, after an introduction of the concept of recollement and TTF triple in a triangulated category, we consider recollements of derived categories of differential graded algebras induced by self-orthogonal compact objects obtaining a generalization of Rickard's Theorem. Specializing to the case of partial tilting modules over a ring, we extend the results on triangle equivalences proved in [B] and [BMT]. After that we focus on the connection between recollements of derived categories of rings, bireflective subcategories and generalized universal localizations". In the second part of the thesis we give some results in the setting of monoidal categories and dual qausi-bialgebras. To every dual quasi-bialgebra H and every bialgebra R in the category of Yetter-Drinfeld modules over H, one can associate a dual quasi-bialgebra, called bosonization. In this thesis, using the fundamental theorem, we characterize as bosonizations the dual quasi-bialgebras with a projection onto a dual quasi-bialgebra with a preantipode. As an application we investigate the structure of the graded coalgebra grA associated to a dual quasibialgebra A with the dual Chevalley property (e.g. A is pointed).

Nella prima parte della tesi, dopo aver introdotto il concetto di incollamento e di triple TTF in una categoria triangolata, si considerano incollamenti di categorie derivate di algebre differenziali graduate indotti da oggetti compatti e auto ortogonali, ottenendo una generalizzazione del teorema di Rickard. Considerando il caso particolare del moduli partial tilting, estendiamo i risultati sulle equivalenze tra categorie triangolate ottenute in [B] e [BMT]. Segue una parte focalizzata sulla connessione tra incollamenti di categorie derivate di anelli, sottocategorie biriflessive e localizzazioni universali generalizzate. Nella seconda parte della tesi vengono dati alcuni risultati nell'ambito di categorie monoidali e dual quasi-bialgebre. Ad ogni dual quasi-bialgebra H e ad ogni bialgebra R nella categoria dei moduli di Yetter-Drinfeld su H, e possibile associare una dual quasi-bialgebra, chiamata bosonizzazione. In questa tesi, usando il teorema fondamentale, si caratterizza come bosonizzazione ogni dual quasi-bialgebra con proiezione su una dual quasi-bialgebra con preantipode. Come applicazione si studia la struttura della coalgebra graduata grA associata ad una dual quasi-bialgebra A con la proprieta di Chevalley duale (si vedra che A e puntata).