Coverings of Groups by Subgroups

Given a finite non-cyclic group $G$, a "cover" of $G$ is a family $\mathcal{H}$ of proper subgroups of $G$ such that $\bigcup_{H \in \mathcal{H}} H = G$. A "normal cover" of $G$ is a cover $\mathcal{H}$ of $G$ with the property that $gHg^{-1} \in \mathcal{H}$ for every $H \in \mathcal{H}$, $g \in G$. Define the "covering number" $\sigma(G)$ of $G$ to be the smallest size of a cover of $G$, and the "normal covering number" $\gamma(G)$ of $G$ to be the smallest number of conjugacy classes of a normal cover of $G$. If $G$ is cyclic we pose $\sigma(G) = \gamma(G) = \infty$, with the convention that $n < \infty$ for every integer $n$. In this Ph.D. thesis we study these two invariants. Andrea Lucchini and Eloisa Detomi conjectured that if $G$ is a finite non-abelian group such that $\sigma(G) < \sigma(G/N)$ for every non-trivial normal subgroup $N$ of $G$ then $G$ is "monolithic", i.e. admits a unique minimal normal subgroup. In this thesis we deal with this conjecture and give a partial reduction to the almost-simple case. This requires good lower and upper bounds for the covering number of monolithic groups, which we prove along the way. We give an asymptotic estimate for the number of covering numbers of monolithic groups $G$ with non-abelian minimal normal subgroup $N$ such that $G/N$ is cyclic. We also compute the covering number of a direct product of groups, and also its normal covering number in case the factors do not admit isomorphic abelian quotients. We prove several upper bounds for $\gamma(G)$ and deal with the following conjecture, formulated by me and Attila Maroti: if $G$ is any non-cyclic finite group and $p$ is the largest prime divisor of $|G|$ then $\gamma(G) \leq p+1$. We reduce the conjecture to the almost-simple case and deal with alternating groups, sporadic groups and some linear groups

Dato un gruppo finito non ciclico $G$, un "ricoprimento" di $G$ è una famiglia $\mathcal{H}$ di sottogruppi propri di $G$ tale che $\bigcup_{H \in \mathcal{H}} H = G$. Un "ricoprimento normale" di $G$ è un ricoprimento $\mathcal{H}$ di $G$ tale che $gHg^{-1} \in \mathcal{H}$ per ogni $H \in \mathcal{H}$, $g \in G$. Definiamo "numero di ricoprimento" $\sigma(G)$ di $G$ come la più piccola cardinalità di un ricoprimento di $G$, e definiamo "numero di ricoprimento normale" $\gamma(G)$ di $G$ come il più piccolo numero di classi di coniugio di un ricoprimento normale di $G$. Se $G$ è ciclico poniamo $\sigma(G) = \gamma(G) = \infty$, con la convenzione che $n < \infty$ per ogni intero $n$. In questa tesi di dottorato studiamo questi due invarianti. Andrea Lucchini ed Eloisa Detomi hanno congetturato che se $G$ è un gruppo finito non abeliano tale che $\sigma(G) < \sigma(G/N)$ per ogni sottogruppo normale non banale $N$ di $G$ allora $G$ è "monolitico", cioè ammette un unico sottogruppo normale minimale. In questa tesi affrontiamo questa congettura e diamo una riduzione parziale al caso almost-simple. Questo richiede buone stime da sopra e da sotto per il numero di ricoprimento dei gruppi monolitici, che trattiamo strada facendo. Diamo una stima asintotica del numero di numeri di ricoprimento di gruppi monolitici $G$ con sottogruppo normale minimale $N$ non abeliano tale che $G/N$ è ciclico. Calcoliamo inoltre il numero di ricoprimento di un prodotto diretto di gruppi, e il suo numero di ricoprimento normale nel caso i fattori non ammettano quozienti abeliani isomorfi. Dimostriamo varie stime dall'alto per $\gamma(G)$ e affrontiamo la seguente congettura, formulata da me e Attila Maroti: se $G$ è un qualsiasi gruppo finito non ciclico e $p$ è il più grande divisore primo di $|G|$ allora $\gamma(G) \leq p+1$. Riduciamo la congettura al caso almost-simple e trattiamo i gruppi alterni, i gruppi sporadici e alcuni tra i gruppi lineari