Pricing of gas swing contracts with indexed strike: a viscosity solution approach with applications

Swing contracts are structured products mostly traded on energy and gas markets, tailor-made to handle simultaneously price and volume risk arising from the modern liberalized markets. This thesis deals with some specific swing contracts relevant for the gas market. In gas market, swing contracts are also known as take or pay. They are long-term supply contracts which allow flexibility of delivery: the holder of such a contract has multiple exercise rights and can decide the amount exercised as well, hedging the volume risk caused by a frequent demand fluctuation which in practice is impossible to foresee in the long period. Moreover, such type of contracts can be also seen as a strip of spread options on gas market spot price and the contractual price (called strike): in this view, they can be used to hedge the price fluctuation risk. On the other hand, even if the holder can exercise the option with a volume control, such control has however to satisfy some upper and lower limits at all times as well as a total volume, so the given flexibility need to be optimised, i.e. one must know the optimal execution of this flexibility. Today, the correct valuation of these type of contracts is important both for trading purposes as well as for portfolio optimization. In fact, after the recent liberalization, the price of such contracts is negotiated between agents and no more set by regulators. On the other hand, the embedded flexibilities may be used not only to manage demand fluctuation, but also to make profit against local market price. In this thesis we model, in a continuous time framework, a gas swing contract in the spirit of [6], with one additional state variable corresponding to a stochastic strike price. Since, in real contracts, the strike is a market index which is updated monthly, this results in a mixed discrete/continuous stochastic control problem that we reduce to the usual continuous time situation by adding another state variable, corresponding to an index rolled-over in continuous time. The price of a swing contract is then equal to the value function of one sequence of Markov control problems, each one corresponding to a period between two consecutive changing dates of the index. After that, we prove that the value function of the corresponding control problem is the unique viscosity solution of the resulting Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation, and that the value function is smooth enough to ensure the existence of an optimal strategy, that we find out. Briefly spoken, this is the content of the first two chapters of this thesis where, after having framed the valuation problem as a stochastic optimal control problem, an introductory part on viscosity solutions is then applied to the particular problem at hand. This entails in some new results in the theory of viscosity solutions for parabolic nonlinear equations stemming from these swing options. After having found the HJB equations, which become nonlinear partial differential equations, the problem is then to solve them. To do this, in the third chapter we present a finite difference (FD) method for solving the HJB equations numerically. We derive explicitly the boundary conditions for a particular model, when both gas and strike price are supposed to be in the class of the one-factor Schwartz-Smith dynamics. More in detail, we suppose that the log-prices follow Ornstein-Uhlenbeck processes driven by two correlated Brownian motions. Also, the third chapter presents the popular Least Square Monte Carlo (LSMC) algorithm, originally developed by Longstaff-Schwartz for valuing American options and here extended to the present problem. This algorithm is based on the backward solution of the discrete-time version of the control problem. It regresses the continuation value in the Bellman equation to the current available information, obtained using Monte Carlo simulations. Two critical steps using the LSMC algorithm are the choice of both type and number of the basis functions used in the regression; we approach this problem adapting to our case the radial basis function approximation introduced in [11] for storage structured products, which seems very appropriate and interesting for such applications. Several comparison examples are then numerically analysed, in particular the effect that the number of basis functions and the number of simulated paths have on the solution of LSMC as well as the efficiency of the FD method. Some conclusion on the comparison between the two algorithms ends the chapter. The last chapter is from the published paper [17] and deals with the so-called make-up clauses, which extend the swing option previously studied by allowing to the holder of the contract more flexibility among years. From a technical point of view, a swing contract with an embedded make-up clause can not be any more split into yearly contracts, but one must consider the whole contract at once, typically lasting over several years (usually from 3 to 5). To approach the complexity of such problem, another numerical method popular among practitioners is introduced for the purpose of pricing, namely lattice of trees. After having presented the algorithm and analysed its computational cost, the fourth chapter ends with many numerical examples testing for the swing option price's dependency on various crucial parameters

I contratti swing nei mercati dell'energia e del gas sono prodotti strutturati creati su misura per gli operatori al fine di gestire contemporaneamente il rischio derivante dalle variazioni del prezzo di mercato e dall'incertezza volumetrica dovuta alla continua e imprevedibile fluttuazione della domanda. La presente tesi si occupa di un particolare tipo di contratto swing, frequentemente scambiato tra grossi operatori del mercato del gas naturale. I contratti swing nei mercati del gas sono noti anche come take-or-pay e sono contratti di fornitura a lungo termine che permettono flessibilità nel ritiro del gas: l'acquirente possiede infatti la possibilità (ma non l'obbligo) di decidere sia quando sia quanto gas ritirare, essendo tuttavia obbligato a soddisfare dei vincoli di quantità minima e massima sia su ciascun periodo di ritiro (solitamente il giorno) sia complessivamente sull'anno. Da un lato, tale flessibilità volumetrica ben si adatta a soddisfare una domanda altalenante e imprevedibile. Dall'altro lato, un contratto swing può semplicisticamente essere visto come una strip di opzioni sullo spread tra il prezzo del gas di mercato e il prezzo contrattuale di ritiro: in quest'ottica, esso diventa un ottimo strumento di gestione del rischio derivante dalle fluttuazioni di prezzo nel breve periodo, permettendo di non esercitare, o di esercitare il minimo possibile, nei momenti avversi. La corretta valutazione di simili contratti è oggi di grande importanza sia per ragioni di trading, essendo il prezzo di tali opzioni contrattato direttamente tra i players del mercato e non più imposto come durante il regime regolamentato, sia per ragioni di ottimizzazione di portafoglio, poiché le flessibilità volumetriche offerte possono potenzialmente essere usate anche per generare puri profitti. Partendo da quanto esposto in [6] per i mercati energy, in questa tesi si descrive e risolve, a tempo continuo, il problema del pricing di un contratto swing tipico dei mercati gas, in cui sia il prezzo di mercato quanto il prezzo contrattuale (prezzo strike, o indice) sono aleatori. In pratica, il prezzo strike viene aggiornato mensilmente, mentre il prezzo di mercato cambia con granularità almeno giornaliera: tecnicamente questo origina un problema di controllo ottimo stocastico in cui una variabile è discreta, mentre tutte le altre sono continue. Per superare questa difficoltà, e ridurre il problema ad uno classico a solo tempo continuo, si introduce una variabile di stato ad hoc, corrispondente alla dinamica a tempo continuo dell'indice. Tale variabile continua verrà successivamente campionata ad opportuni intervalli di tempo per ottenere la reale successione discreta di strikes contrattuali. Dopodiché, si dimostra che il prezzo del contratto è dato da una serie di problemi di controllo ottimo, ciascuno dei quali viene risolto all'interno di un periodo tra due cambi consecutivi dello strike. Si dimostra quindi che le funzioni valore di tali problemi di controllo ottimo sono l'unica soluzione di viscosità delle equazioni di Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) associate a ciascun problema, e che tali soluzioni sono sufficientemente regolari da garantire l'esistenza del controllo ottimo. Sommariamente, questo è il contenuto dei primi due capitoli, nei quali, dopo aver richiamato la nozione e i principali risultati noti sulle soluzioni di viscosità per i problemi di controllo ottimo, la teoria classica viene estesa ed applicata al problema in oggetto, portando ad alcuni nuovi risultati per le soluzioni di viscosità di equazioni paraboliche non lineari. Il terzo capitolo è dedicato ai metodi numerici. Dopo aver ricavato l'equazione HJB il problema si sposta alla soluzione della stessa. A tal fine, si introduce uno schema di soluzione numerica basato sulle differenze finite. Tale algoritmo necessita di condizioni al contorno sui domini di soluzione, che vengono ricavate analiticamente nell'ipotesi in cui la dinamica dei prezzi di gas e indice segua un caso particolare del modello di Schwartz-Smith ad un fattore, cioè quando si suppone che il logaritmo dei prezzi sia un processo di Ornstein-Uhlenbeck guidato da due moti Browniani correlati. Uno studio empirico, attraverso un caso numerico, sulla stabilità dell'algoritmo FD al variare della discretizzazione del dominio temporale e spaziale completa la parte analitica. Al fine di confrontare i risultati ottenuti con la best practice in uso nelle aziende, il popolare algoritmo noto come Least Square Monte Carlo, originariamente sviluppato da Longstaff e Schwartz per valutare opzioni di tipo americano, viene adattato al problema del pricing di contratti swing. Questo algoritmo, molto usato tra i practitioners, risolve un'approssimazione a tempo discreto del problema originale usando la ricorsione all'indietro. Ad ogni iterazione dell'algoritmo, il valore di continuazione nell'equazione di Bellman a tempo discreto viene regredito sull'informazione presente a quell'istante, ottenuta tramite delle simulazioni Monte Carlo. Due punti in questo tipo di algoritmo risultano essere particolarmente critici: la scelta del tipo e del numero di funzioni di base usate nella regressione, nonchè il numero di simulazioni Monte Carlo adottate. Per quanto riguarda la scelta del tipo di funzioni, seguendo e adattando al caso presente quanto sviluppato in [11], viene introdotto un metodo di regressione basato su funzioni radiali di base, che sembra ben adattarsi a problemi di pricing di contratti strutturati. Riguardo invece l'effetto della scelta del numero di basi e del numero di simulazioni usate nell'algoritmo LSMC, viene presentato uno studio empirico attraverso casi numerici. L'ultimo capitolo riprende quanto già pubblicato in [17] ed estende la valutazione di contratti swing in cui è presente una clausola chiamata di make-up, che in pratica permette più flessibilità nel ritiro del gas abbassando il livello minimo di ritiro di un certo anno, e forzando in uno o più anni successivi il richiamo del gas non preso. Tecnicamente, quando tale clausola è presente, non è più possibile separare il problema di valutazione sugli anni, ma è necessario considerare l'intero intervallo temporale su cui è scritta la clausola di make-up (solitamente da 3 a 5 anni). Per affrontare la complessità del pricing di un tale contratto nel capitolo si introduce un algoritmo basato su alberi, noto come lattice of trees. Dopo un'accurata descrizione di tale algoritmo, anche da un punto di vista di complessità computazionale, il quarto capitolo termina con un'applicazione reale dell'algoritmo di pricing volto ad esaminare l'impatto di vari fattori di mercato e parametri contrattuali sul prezzo di un ipotetico contratto swing