On the stability, stabilizability and control of certain classes of Positive Systems

In this thesis stability, stabilizability and other control issues for certain classes of Positive Systems are investigated. In the first part, the focus is on Compartmental Systems: we start from Compartmental Switched Systems and show that, with respect to the general class of Positive Switched Systems, a much clearer picture of stability under arbitrary switching, stability under persistent switching, and stabilizability (where the control action may either pertain the switching function or involve the design of feedback controllers) can be drawn. Secondly, for the class of Compartmental Multi-Input Systems the problem of designing a state-feedback matrix that preserves the compartmental property of the resulting closed-loop system, meanwhile achieving asymptotic stability is addressed. Such an analysis finally leads to the development of an algorithm that allows to assess problem solvability and provides a possible solution whenever it exists. The second part of the thesis is devoted to the Positive Consensus Problem: for a homogeneous Positive Multi-Agent System we investigate the problem of determining a state-feedback law that can be individually implemented by each agent, preserves the positivity of the overall system, and leads to the achievement of consensus. Finally, for a particular class of Positive Bilinear Systems that arises in drugs concentration design for HIV treatment, we address the problem of determining an optimal constant input that stabilizes the system while maximizing its robustness against the presence of the external disturbance.

Nella tesi vengono affrontate problematiche di stabilità, stabilizzabilità ed altri problemi di controllo per alcune classi di Sistemi Positivi. Nella prima parte oggetto di studio sono i Sistemi Compartimentali. Innanzitutto, per Sistemi Compartimentali Switched viene fornita una caratterizzazione, più ampia e completa rispetto a quella disponibile per la classe generale dei Sistemi Positive Switched, delle proprietà di stabilità (con sequenze di switching arbitrarie e con sequenze di switching soggette a vincoli di persistenza) e stabilizzabilità (dove l’azione di controllo avviene tramite la funzione di switching o la costruzione di controllori in retroazione). In secondo luogo, per Sistemi Compartimentali Multi-Input, viene affrontato il problema di determinare una matrice di retroazione dallo stato che conservi la proprietà di compartimentalità e renda il sistema ad anello chiuso asintoticamente stabile. Tale analisi conduce allo sviluppo di un algoritmo che permette di verificare la risolubilità del problema e, in caso affermativo, fornire una soluzione. La seconda parte della tesi è dedicata al problema del consensus per Sistemi Positivi (o Positive Consensus Problem): per un Sistema Positivo Multi-Agente omogeneo viene affrontato il problema di determinare una legge di controllo in retroazione che possa essere implementata da ciascun agente, mantenga la positività dell’intero sistema, e conduca al raggiungimento del consensus. Infine, per una particolare classe di Sistemi Positivi Bilineari frequentemente utilizzata nello studio di terapie contro l’HIV, viene affrontato il problema di determinare un ingresso costante che stabilizzi il sistema e ne massimizzi la robustezza contro la presenza di disturbi esterni.