Mathematical modelling and statistics of biodiversity

Life on Earth is characterised by an amazing variety of living forms which are in continuous evolution to better adapt to the surrounding environment and highly connected one to the other. A deep investigation of different living systems has recently been favoured by the huge quantity of data nowadays available. The present thesis is the final result of a journey through complex patterns in theoretical ecology. We study both models and issues in data analysis as well as the connections between them within a mathematical framework. In particular, we explore the different aspects of the biodiversity of an ecosystem, referring with this term to the variety of its species. Our interest is to investigate how these species interact with each other and with the surrounding environment and how these connections can structure recurrent macro-ecological patterns. Indeed, despite their diversity and complexity, it is straightforward that ecological systems share similar behaviours. This fact suggests that such systems are driven by a common mechanism, which is insensitive to the details of the systems on which it acts. A theoretical understanding is therefore possible through the development of mathematical models rich enough to reproduce the investigated patterns, but containing only the essential ingredients able to originate them. In the first part of the present thesis, we explore the fundamentals of spatial point process theory, a powerful mathematical tool to model data in the form of sets of spatial locations of points. In particular, since our datasets usually consist of information on trees belonging to different species, we focus on the so-called superposed process and its first and second-order statistics. We then study an algorithm to infer the intensity function of a point process which is capable to reduce sampling fluctuations and to capture relevant spatial characteristics of a spatial pattern, as space anisotropy and clustering. Finally, we explore in details the notions of ecological diversity and similarity and some of the most popular indexes used to measure them. In particular, we study how to insert them in the context of point processes’ theory. Our aim is at finding an analytical relation for the decay of similarity between two regions of a landscape as a function of the distance between them, by extending the classic notion of Sørensen’s index to incorporate spatial information. In the second part of the thesis, we tackle the problem of inferring the total bio- diversity of an ecosystem when only scattered samples are observed. In particular, we propose a novel upscaling method which, by exploiting the scaling invariance property of the negative binomial distribution, generates accurate and robust pre- dictions. We test it on both computer-generated and real forests and we show that it outperforms other methods previously proposed in literature.

La vita sulla Terra è caratterizzata da una straordinaria varietà di forme viventi in continua evoluzione per meglio adattarsi all’ambiente circostante e strettamente connesse le une alle altre. Oggigiorno, grazie all’enorme quantità di dati a disposizione, è possibile investigare a fondo su diversi sistemi viventi. La presente tesi è il risultato di un percorso attraverso i complessi pattern della teoria ecologica. In essa trattiamo sia modelli teorici sia problematiche legate all’analisi dei dati, come anche le connessioni tra loro, tutto all’interno di un contesto matematico. Centro d’interesse sono i diversi aspetti della biodiversità di un ecosistema, termine con il quale indichiamo la varietà delle sue specie. In particolare, vogliamo investigare il modo in cui le diverse specie interagiscono le une con le altre e come, da queste connessioni, possano originarsi dei pattern macro-ecologici ricorrenti. Infatti, nonostante la loro apparente diversità e complessità, è oggi evidente che i sistemi ecologici mostrano comportamenti simili. Questo fatto suggerisce che tali sistemi evolvono secondo un meccanismo comune, insensibile ai dettagli del sistema su cui agisce. Di conseguenza, si apre la strada allo sviluppo di modelli teorici che siano abbastanza complessi da riuscire a spiegare tali fenomeni, ma che al contempo non contengano più dettagli di quelli necessari a riprodurli. La prima parte della tesi è dedicata all’esplorazione dei fondamenti della teoria dei processi di punto, uno strumento matematico molto utile quando si va ad investigare dataset contenenti posizioni di punti nello spazio. In particolare, essendo i nostri database relativi a coordinate di alberi appartenenti a specie diverse, ci concentreremo sul cosiddetto processo sovrapposto e sulle sue statistiche di primo e secondo ordine. Poi studieremo un algoritmo che permette di ottenere informazioni sull’intensità di un processo di punto, capace al contempo di ridurre le fluttuazioni di campionamento e di rivelare caratteristiche importanti di un pattern spaziale, come l’anisotropia ed il clustering. Infine, esploreremo in dettaglio le nozioni di diversità e similarità e i vari indici proposti in letteratura per misurarle. In particolare, studieremo come inserire queste nozioni nel contesto dei processi di punto. L’obiettivo è quello di trovare una relazione analitica per il decadimento di similarità tra due regioni in funzione della distanza tra esse estendendo la nozione classica dell’indice di Sørensen in modo da incorporare informazioni spaziali. Nella seconda parte della tesi, affronteremo il problema di inferire la biodiversità totale di un ecosistema avendo a disposizione solo alcuni suoi campioni. In particolare, proporremo un nuovo metodo che, sfruttando la proprietà di invarianza di scala della distribuzione binomiale negativa, permette di avere stime accurate e robuste. Testandolo sia su foreste artificiali che reali, mostreremo che il metodo è più affidabile rispetto ad altri proposti in letteratura.