Spectral stability estimates for the eigenfunctions of second order elliptic operators

The thesis deals with a new direction in the spectral stability problem of elliptic operators, namely to find estimates for the variation of eigenfunctions due to domain perturbation. Unlike the problem of the variation of the eigenvalues, this problem had practically never been investigated previously. The approach developed in the thesis is based on the concept of "gap'' between linear operators. This concept, which measures the proximity of two unbounded linear operators, extends to the case of operators defined on different domains. Thereafter, there are obtained estimates of the gap between elliptic partial differential operators with homogeneous Dirichlet boundary conditions defined on different domains. This then allows one to get estimates for the norm of the differences of eigenprojectors and, as a consequence, the desired estimates for the differences of appropriate eigenfunctions of operators defined on different domains, estimates expressed through the geometrical features, namely through the power of the Hausdorff-Pompeiu distance between the boundaries of the domains. The results obtained are new and very interesting and give a good contribution to the problem of spectral stability for differential operators

La tesi affronta una nuova direzione nel problema della stabilità spettrale degli operatori ellittici, precisamente di trovare stime per la variazione delle autofunzioni in seguito alla perturbazione del dominio. A differenza del problema della variazione degli autovalori, questo problema non era praticamente mai stato investigato in precedenza. L'approccio che è stato sviluppato nella tesi si basa sulla nozione di "gap'' tra operatori lineari. Questa nozione, che misura la vicinanza di due operatori lineari illimitati, si estende al caso di operatori definiti su domimi diversi. In seguito si ottengono delle stime per il gap tra operatori differenziali ellittici alle derivate parziali con condizioni al contorno di Dirichlet omogenee definiti su domini diversi. Ciò quindi permette di ottenere delle stime per la norma delle differenze degli autoproiettori e come conseguenza le stime volute per la norma delle differenze di appropriate autofunzioni di operatori definiti su domini diversi, stime espresse mediante caratteristiche geometiche dei domini, precisamente mediante potenza della distanza di Hausdorff-Pompeiu tra i bordi dei domini. I risultati ottenuti sono nuovi e molto interessanti e danno un buon contributo al problema della stabilità spettrale per operatori differenziali.