Identification of reciprocal processes and related matrix extension problem

Stationary reciprocal processes defined on a finite interval of the integer line can be seen as a special class of Markov random fields restricted to one dimension. This kind of processes are potentially useful for describing signals which naturally live in a finite region of the time (or space) line. Non-stationary reciprocal processes have been extensively studied in the past especially by Jamison, Krener, Levy and co-workers. The specialization of the non-stationary theory to the stationary case, however, does not seem to have been pursued in sufficient depth in the literature. Moreover, estimation and identification of reciprocal stochastic models starting from observed data seems still to be an open problem. This dissertation addresses these problems showing that maximum likelihood identification of stationary reciprocal processes on the discrete circle leads to a covariance extension problem for block-circulant covariance matrices. This generalizes the famous covariance band extension problem for stationary processes on the integer line. We show that the maximum entropy principle leads to a complete solution of the problem. An efficient algorithm for the computation of the maximum likelihood estimates is also provided.

Un processo reciproco su un intervallo finito può essere visto come la naturale riduzione al caso unidimensionale di un campo di Markov. Questo tipo di processi è potenzialmente utile per descrivere segnali che vivono su di un intervallo spaziale o temporale limitato (si pensi ad esempio alle immagini). I processi reciproci non stazionari sono stati studiati in letteratura da B. Jamison, A. J. Krener, B. C. Levy e coautori. La specializzazione di tale teoria al caso stazionario, tuttavia, non sembra essere stata oggetto di sufficiente approfondimento in letteratura. Inoltre i problemi di stima e identificazione per processi reciproci a partire da dati osservati sono tuttora aperti. Il presente lavoro di tesi si è concentrato su tali problematiche. In particolare è stato mostrato come il problema di stima a massima verosimiglianza per processi reciproci stazionari sia riconducibile a un problema di estensione di covarianza per matrici circolanti. Tale problema generalizza il ben noto problema di estensione di covarianza per processi stazionari definiti sull'asse degli interi e non sembra essere stato affrontato in letteratura. Nel corso del lavoro di tesi è stato mostrato come tale problema sia risolubile facendo ricorso a un principio di massimizzazione dell'entropia. Infine, è stato proposto un algoritmo efficiente per il calcolo della soluzione.