Regularization techniques based on Krylov subspace methods for ill-posed linear systems

Questa tesi è incentrata sulle tecniche di regolarizzazione per problemi lineari discreti malposti e di grandi dimensioni. Molteplici applicazioni fisiche ed ingegneristiche sono modellate da questo genere di problemi che, in ambito continuo, sono spesso formulati mediante equazioni integrali di Fredholm di prima specie con nucleo regolare. Più precisamente, queste equazioni modellano i cosiddetti problemi inversi, cioè problemi in cui la causa di un effetto osservato deve essere ricostruita. Una volta discretizzati, questi problemi si presentano come sistemi lineari, la cui matrice dei coefficienti è fortemente malcondizionata e il cui vettore dei termini noti è affetto da qualche perturbazione (spesso chiamata rumore). In questo contesto, risolvere direttamente il sistema lineare discretizzato produrrebbe una soluzione priva di significato, in quanto pesantemente dominata da errori; inoltre, a causa delle grandi dimensioni del sistema, tale procedimento potrebbe risultare infattibile, perchè computazionalmente troppo costoso. Pertanto, qualche forma di regolarizzazione deve essere applicata in modo da poter calcolare una approssimazione fisicamente significativa della soluzione esatta del problema trattato: regolarizzare significa appunto sostituire il sistema lineare con un problema ad esso collegato ma avente migliori proprietà numeriche. La prima parte di questa tesi (Capitolo 1) offre una panoramica sui problemi inversi e descrive brevemente le loro proprietà nel continuo. Quindi, nel discreto, vengono esaminati i più comuni metodi di regolarizzazione basati su una qualche fattorizzazione della matrice del sistema. La restante parte della tesi riguarda le tecniche di regolarizzazione iterative che consistono nell'applicazione di metodi di Krylov: questo tipo di regolarizzazione è particolarmente appropriato quando devono essere risolti sistemi lineari di grandi dimensioni. Più precisamente, nel Capitolo 2, viene proposta un'accurata descrizione dei metodi di Krylov più popolari nell'ambito della regolarizzazione: storicamente, i primi metodi ad essere utilizzati a tale scopo sono stati quelli legati alle equazioni normali e le proprietà regolarizzanti di molti di essi sono già state analizzate. Per quanto riguarda i metodi basati sull'algoritmo di Arnoldi, la situazione è differente: nella maggior parte dei casi, le loro proprietà regolarizzanti non sono ancora state rigorosamente studiate. Pertanto, sempre nel Capitolo 2, viene proposta un'analisi originale delle proprietà approssimanti dell'algoritmo di Arnoldi nel caso in cui esso venga impiegato per la risoluzione di sistemi lineari malposti: l'obbiettivo di questa analisi è di fornire maggiori spiegazioni riguardo all'utilizzo dei metodi basati sull'algoritmo di Arnoldi per la regolarizzazione. I risultati più significativi presentati nella tesi riguardano la classe dei metodi di tipo Arnoldi-Tikhonov, introdotti per la prima volta una decina di anni fa e descritti nel Capitolo 3. L'approccio di tipo Arnoldi-Tikhonov consiste nel risolvere, mediante un metodo iterativo basato sull'algoritmo di Arnoldi, un problema regolarizzato tramite il metodo di Tikhonov. Rispetto ad un approccio regolarizzante puramente iterativo, i metodi di tipo Arnoldi-Tikhonov sono in grado di calcolare soluzioni approssimate più accurate, in quanto all'interno del procedimento iterativo di tipo Arnoldi-Tikhonov possono essere facilmente incorporate alcune informazioni sul comportamento e sulla regolarità della soluzione. Fra i maggiori problemi aperti legati all'utilizzo dei metodi di tipo Arnoldi-Tikhonov figurano la ricerca di metodi efficienti per la scelta dei parametri di regolarizzazione e la scelta di opportune matrici di regolarizzazione. Le problematiche relative alla scelta dei parametri sono trattate nel Capitolo 4, dove vengono derivate due nuove tecniche che possono essere utilizzate congiuntamente ai metodi di tipo Arnoldi-Tikhonov; sempre nel Capitolo 4 viene descritta una nuova estensione del metodo di Arnoldi-Tikhonov al caso della regolarizzazione di Tikhonov a più parametri. Infine, nel Capitolo 5, vengono presentate due innovative ed efficienti strategie per approssimare la soluzione di problemi regolarizzati nonlineari: più precisamente, i termini di regolarizzazione inizialmente definiti utilizzando la norma 1 o il funzionale di Variazione Totale (TV) sono approssimati mediante opportune matrici di regolarizzazione che vengono aggiornate adattivamente durante le iterazioni del metodo di Arnoldi-Tikhonov. In generale, nel corso della trattazione, vengono illustrati i risultati di molteplici esperimenti numerici, con l'obbiettivo di mostrare il comportamento dei nuovi metodi proposti e di confrontarli con quelli già esistenti.