Il corpo rigido in rapida rotazione

La teoria hamiltoniana delle perturbazioni, e in modo particolare la teoria di Nekhoroshev (1977), hanno aperto nuove prospettive nello studio di problemi classici della meccanica, tra cui il problema della stabilita' dei moti del corpo rigido. In questo contributo focalizzeremo l'attenzione sul corpo rigido di Eulero perturbato, ovvero il corpo rigido con un punto fisso in un debole potenziale esterno $\epsilon V$ (regolare e anzi analitico, come e' tipico della teoria di Nekhoroshev), a sua volta equivalente al corpo rigido posto in rapida rotazione in un potenziale $V$ fissato: $\|\omega\|\sim\epsilon^{-1/2}$, se $\omega$ denota la velocit\`a angolare. Per tale sistema si studieranno le condizioni per la stabilita dei moti su tempi lunghi, precisamente tempi esponenziali in $\epsilon^{-1/4}$ ovvero in $\|\omega\|^{1/2}$, e viceversa le condizioni in cui opportune perturbazioni possono dar luogo a moti caotici. Come si vedra', la presenza di risonanze tra due opportune componenti di $\omega$ (le componenti che intervengono nella descrizione di Poinsot del moto imperturbato) conduce in generale a variazioni caotiche ampie dell'orientazione del momento angolare $m$ nello spazio, che hanno luogo sulla scala di tempo relativamente breve $\epsilon^{-1}$ e permangono per $\epsilon$ comunque piccolo ($\omg$ comunque grande). Per moti prossimi alle rotazioni proprie stabili del problema imperturbato, tuttavia, i movimenti di $m$, pur restando, in condizioni di risonanza, genericamente caotici, si localizzano, precisamente si stringono attorno alle curve di livello di una funzione regolare sulla sfera di $\|m\|$ costante (calcolabile a partire da $V$), lungo le quali $m$ precede con velocita' piccola di ordine $\epsilon$. Quest'ultimo risultato si puo' leggere come una versione hamiltoniana del principio dell'effetto giroscopico, dedotto senza approssimazioni e valido, anche in risonanza, per i tempi esponenzialmente lunghi della teoria di Nekhoroshev.